Gleichseitiges Dreieck, gleich große Innenwinkel?
In nem Matheforum antwortet mir keiner, meinen Prof, brauch ich erst gar nicht fragen und meine Freunde sind selbst überfordert. Deshalb versuch ich mal mein Glück hier. Und zwar soll ich beweisen, dass bei einem gleichseitigen Dreieck, auch alle Innenwinkel gleich groß ist. Nur weiß ich nicht genau, wie ich da vorgehen soll. Ein Geodreieck ist natürlich nicht erlaubt. Ich hab schon überlegt, ob ich so vorgehen soll, wie beim Beweis, dass bei nem gleichschenkligen Dreieck, die Basiswinkel gleich groß sind. Aber ich glaube das soll man nicht so machen…
6 Antworten
Ich hätte andere Vorgehen...
Ich würde schon bewiesende Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten nutzen für einen mathematichen Beweis über Geometrie mit Gleichungen.
Sollte ich ganz viel langeweile habe, würde ich das über n-Seitige "Polygonfunktionen" versuchen.
Ich würde Ihnen mal zwei Wege zeigen, wie ich das machen würde.^^
Kosinussatz:
Logisch können wir sagen, dass wenn die Seitenlängen des Dreieks von den Winkeln abhängen und alle Seiten gleich groß sind, dann sind auch alle Winkel gleich Groß, demnach ist es beweisbar.
Wenn Sie beweisen wollen das alle Drei Winkel in gleichseitigen Dreieck gleich groß sind, können Sie unterschiedlich vorgehen. z.B. mit den Kosinussatz.
Laut den Kosinussatz ist das Quadrat der Seite c eines Dreiecks die Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten a und b minus 2 mal der Kosinus aus den gegenüberliegenden Winkel mal die anderen veiden Seiten a und b:
c² = a² + ² - 2 · a · b · cos(gamma)
Stellen wir das nach den Winkel um erhalten wir die Formel zur Berechnung des Winkels gegenüber der Seite c, wie auch b und a:
gamma = arccos((a² + b² - c²)/(2 · a · b))
beta = arccos((a² + b² - c²)/(2 · a · c))
alpha = arccos((a² + b² - c²)/(2 · b · c))
Da es sich um ein Gleichseitiges Dreieck handelt sind ebbenn alle Seiten gleich lang:
a = b = c
-> gamma = beta = alpha = arccos((c² + c² - c²)/(2 · c · c))
Verpacken wir das ganze in eine Reihenfolge:
c² = a² + ² - 2 · a · b · cos(gamma)
c = b = a | a := s and b := s and c := s
c² = a² + b² - 2 · a · b · cos(gamma) = s² = 2s² - 2s² * cos(gamma)
-> gamma = arccos((s²)/(2 * s²)) = arccos(1/2) = 60°
b² = a² +c ² - 2 · a · c · cos(beta) = s² = 2s² - 2s² * cos(beta)
-> beta = arccos((s²)/(2 * s²)) = arccos(1/2) = 60°
a² = b² + c² - 2 · b · c · cos(alpha) = s² = 2s² - 2s² * cos(alpha)
-> alpha = arccos((s²)/(2 · s²)) = arccos(1/2) = 60°
60° = alpha = beta = gamma
q.e.d.
I = 180° = alpha + beta + gamma | alpha := W and beta := W and gamma := W
I = 180° = W + W + W = 3W | :(3)
W = 60° | alpha := W and beta := W and gamma := W
alpha = beta = gamma = 60°
q.e.d.
Innenwinkel bei gleichseitigen regelmäßigen Polygonen:
Für Polygone, wie Ihr Dreiek gilt:
I = (n_{Seiten} – 2) · 180°
Für gleichseitige Polygone resultiert, Aufgrund das alle Seiten und Winkel in einen regelmäßigen gleichseitigen Polygon immer gleich sind:
W = I/3 = (n_{Seiten} – 2) · 60°
Ein Dreieckhat 3 Seiten:
W = (3 – 2) · 60°
W = 1 · 60°
W = 60° |
...
I = alpha + beta + gamma | alpha := W and beta := W and gamma := W
180° = 60° + 60° + 60°
180° = 3 · 60°
180° = 180°
q.e.d.
Ende
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.^^
Bei weiteren Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung. :3
Den Kosinussatz dürfen wir leider nicht verwenden. Und auch nicht die Polygone. Nur die Kongruenzsätze, aber vielen Dank für deine Antwort. Du hast dir echt viel Mühe gegeben. 🥹
Das würde schon Sinn machen, mit dem Unterschied, dass bei einem gleichseitigen Dreieck per Definition auch alle Seiten gleich lang sind, somit die Basiswinkel auch gleich groß sein müssen, und da die Winkelsumme im Dreieck immer 180 ° beträgt, auch der dritte 60 ° groß ist.
Wenn Du wissen darfst, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180° und sin(30°)=½ ist, ist es einfach:
Schneide das gleichseitige Dreieck durch und klapp die beiden rechtwinkligen Dreiecke aufeinander. Das Verhältnis Gegenkathete zu Hypotenuse ist 1:2 und somit der Winkel 30°, der andere 60° (;-)))
Wie wäre es mit einem Zirkel?
Wenn alle innenwinkel gleich groß sind, müsste man einen Kreis innerhalb eines solchen Dreiecks machen können und alle Seiten müssten den Kreis schneiden...
Deine Idee mit den gleichschenkligen Dreiecken ist gar nicht so blöd. Du kannst damit erst für 2 Winkel beweisen, daß sie gleich groß sind und dann einen der anderen Eckpunkte nehmen, um nochmal das gleiche zu beweisen. Im ersten Fall sind die Winkel alpha und beta gleich wegen der gleichen Schenkel.
Im zweiten Fall beta und gamma. Und damit ist alpha=beta=gamma.