Begleitendes Dreibein an einem Punkt?
Hallo Leute, ich komme bei dieser Aufgabe nicht auf meinen Fehler und begrüße jede Form von Hilfe.
Mein Ansatz: die Ableitung des Vektors bilden und durch den Betrag des Vektors teilen anschließend den Punkt P einsetzen um den tangenteneinheitsvektor am Punkt P zu bestimmen. Beim normaleneinheitsvektor das selbe mit der zweiten Ableitung. Für b das ganze mit dem kreuzprodukt von t x n berechnen.
Wo ist mein Fehler?
2 Antworten
Achtung: Es macht einen Unterschied, ob du zuerst normierst und dann ableitest und nochmal normierst, oder ob du ohne vorige Normierung ableitest und danach erst normierst.
Und genau da liegt dein Fehler. Du brauchst für den Normaleneinheitsvektor nicht die zweite Ableitung des Ortsvektors, sondern du brauchst die erste Ableitung des Tangenteneinheitsvektors. Dir fehlt da eine Normierung dazwischen.
Wenn die Kurvenlänge der Bogenlänge nach parametrisiert wäre, würde es keinen Unterschied machen. Dann könntest du auch einfach mit der zweiten Ableitung des Ortsvektors arbeiten. (Denn dann wäre die erste Ableitung des Ortsvektors bereits normiert, sodass man die nicht zwischendurch extra noch normieren müsste.) Jedoch ist die Kurve in der gegebenen Form nicht der Bogenlänge nach parametrisiert.
======Ergänzung======
Im konkreten Fall macht das aber soweit ich sehe keinen Unterschied. Da der Betrag von der ersten Ableitung des Ortsvektors konstant ist. Demnach glaube ich eher, du hast dich einfach verrechnet, wenn da etwas nicht passt.
Hier mal ein Lösungsvorschlag zum Vergleich:
https://cdn.discordapp.com/attachments/573943274448879626/965210191828234262/Dreibein.pdf
Auf der ersten Seite, wie ich es korrekterweise gerechnet hätte. Auf der zweiten Seite der (eigentlich nicht ganz korrekte) Lösungsweg, den du beschreibst.
Naja, was ist den r(a)? Das wäre (a*cos(a), a*sin(a), b*a). Wäre das der Punkt P? Nein, wäre es nicht. Deshalb wird da nicht t = a verwendet.
Stattdessen ist r(2π) = (a, 0, 2πb). [Das kann man insbesondere dann recht gut erkennen, wenn man die z-Koordinate von r(t) mit der z-Koordinate von P vergleicht. Dann erhält man b * t = 2πb. Division durch b liefert dann t = 2π.]
Vielen Dank dann ist mir das jetzt auch klar 👍👍☺️
Alles klar also für den tangenteneinheitsvektor zuerst den Vektor normieren dann ableiten dann die Punkte einsetzten? Und den tangenteneinheitsvektor dann ebenfalls normieren und dann ableiten für den normaleneinheitsvektor ?
Für den Tangenteneinheitsvektor musst du nicht erst normieren. Wenn du den Ortsvektor normieren würdest, würdest du mit einer anderen Kurve arbeiten, die woanders verläuft.
Im Grunde einfach so:
t = r'/|r'|
n = t'/|t'|
b = t × n
Und dann den geeigneten Parameterwert für den gegebenen Punkt P einsetzen.
Ich habe dir übrigens noch eine Ergänzung bei meiner Antwort aufgeschrieben.
Alles klar vielen Dank das war sehr hilfreich :)
Beim normaleneinheitsvektor das selbe mit der zweiten Ableitung.
Wenn ich mich richtig erinnere ist das der Fehler.
Du musst nicht die zweite Ableitung betrachten, sondern die Ableitung vom Tangentialvektor, der eben schon normiert ist.
Sonst sollte es korrekt sein.
Was mir als letzter Punkt allerdings noch unklar ist, woher kommt man auf die 2pi die wir von Punkt P in unsere Funktion einsetzten wieso nehmen wir nicht a oder 0