Bestimmen Sie alle Punkte der x1-Achse, die den Abstand 9 zur Gerade haben?
Hallo,
Wie löse ich auf dem Bild die A6? Bin total verzweifelt, immer wenn ich einen Ansatz habe, kommt ein Wiederspruch raus.
Danke für eure Hilfe
LG
2 Antworten
Hallo,
die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Geraden lautet
d=|ax(Q-P)|/|a|.
a ist dabei der Richtungsvektor der Geraden, also (0/1/1).
Q ist der Punkt, dessen Abstand gesucht wird. Da er auf der x-Achse liegt, sind sowohl seine y-wie auch seine z-Koordinate gleich 0. Q hat also die Koordinaten
(x|0|0), wobei x noch zu bestimmen ist.
P ist ein Punkt auf der Geraden; da nehmen wir einfach den gegebenen Stützpunkt
(0|11|3).
Wir teilen also den Betrag des Kreuzproduktes aus a und (Q-P)=(x/-11/-3) durch den Betrag von a:
(0/1/1)x(x/-11/-3)=(8/x/-x).
Der Betrag daraus ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten, also Wurzel (64+x²+(-x)²)=Wurzel (64+2x²).
Das wird geteilt durch den Betrag von a,
also durch die Wurzel aus (0²+1²+1²)=Wurzel (2).
Das Ergebnis soll 9 sein:
Wurzel (64+2x²)/Wurzel (2)=9
Wurzel (64+2x²)=9*Wurzel (2).
Quadrieren auf beiden Seiten ergibt:
64+2x²=81*2=162
2x²=98
x²=49
x=±7
Die beiden Punkte auf der x-Achse mit Abstand 9 zur Geraden lauten also
(7|0|0) und (-7|0|0).
Herzliche Grüße,
Willy
bei der Geraden sehen wir,dass die x-Komponete x=0 ist unabhängig von dem Parameter t
Gerade geht somit durch die y-Achse
Abstand 9 ist somit vom ursprung des x-y-z-Koordinatensystems zur Geraden
P(0/0/0) Abstand von 2 punkten im Raum
Betrag |d|=Wurzel((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)
d²=9² → x2=x1=0
9²=y²+z²
y=11+t*1 und z=3+t*1
9²=(11+t)²+(3+t)² binomische Formel (x+b)²=x²+2*b*x+b²
(11+t)²=11²+2*t*11+t²=121+22*t+t²
(3+t)²=3²+2*t*3+t²=9+6*t+t²
9²=121+22*t+t²+9+6*t+t²
9²=2*t²+28*t+130
0=2*t²+28*t+130-81
0=2*t²+28*t+49 ist eine Parabel der Form 0=a2*x²+a1*x+ao
dividiert durch 2
0=t²+14*t+24,5
t1=-2,05.. und t2=-11,9497..
Mach Proberechnungen und prüfe auf Richtigkeit
b) zeichne ein Dreieck mit der y-Achse und z-Achse → Schnittpunkt ist bei
P(0/0/0)
Punkt der Geraden Pg1(0/y/0) z=0=3+1*t → t=-3
Punkt der Geraden Pg2(0/0/z) y=0=11+t*1 → t=-11
Der geringste Abstand ist dann die Normale von Punkt P(0/0/0) auf der Geraden
durch die Punkte Pg1 und Pg2
Den Rest schaffst du selber
Tipp:Benutze deinen Schreibtisch als x-y-z-Koordinatensystem
linke Tischkante ist die x-Achse → x1
vordere Tischkante ist die y-Achse → x2
einen Bleistift senkrecht auf die linke vordere Tischkante gestellt ist die z-Achse → x3
einen weiteren Bleistift benutzt du noch als Gerade x=(0/11/3)+t*(0/1/1)
Beispiel: t=1 ergibt den Punkt P(0/12/4) → x=x1=0 und y=x2=12 und z=x3=4