Bedeutet waagerechte Tangente, dass genau an der Stelle ein Extrem Punkt vorliegt?

Nicht zwangsläufig, aber es ist eine Voraussetzung.

Wenn zusätzlich f´´(x _ 0) = 0 und f´´´(x _ 0) ≠ 0 (oder bei höher ableitbaren Funktionen die höchste Ableitung eine ungerade Ableitung ist und  ≠ 0 und alle anderen Ableitungen = 0 sind) ist, dann liegt ein stattdessen ein Sattelpunkt vor.

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt bei dem zusätzlich f´(x _ 0) = 0 ist, was bei einer waagerechten Tangente der Fall ist.

Ein Sattelpunkt ist kein (!!) Extremwertpunkt.

x _0 kennzeichnet die Stelle x an der ein Extremwertpunkt oder ein Sattelpunkt liegen kann.

eine waagerechte Tangente bedeutet, das es sich bei der Stelle um eine Extremwertverdächtige Stelle handelt, dass heißt, das es dort einen Lokalen Extrempunkt gibt, das ist allerdings nur der Fall, wenn dann die zweite Ableitung nicht 0 ist, dann ist es eine Extremstelle, wenn die zweite Ableitung allerdings 0 ist, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Bsp:

1. f(x) = x^3 => x = 0 ... Sattelpunkt

2. f(x) = x^2 => x = 0 ... Lokaler Extrempunkt

  Es gibt eine HINWEICHENDE Bedingung; sie ist leicht zu merken.

  " Eine n-fache Nullstelle, n gerade, ist immer ein Extremum. "

  " Eine n-fache Nullstelle, n > 1 ungerade, ist immer ein ===> Terrassenpunkt. "

Es kann auch auf einen Sattelpunkt hinweisen, der aber kein Extrempunkt ist

Schau dir in diesem Zusammenhang mal das Vorzeichenwechselkriterium an! (Wenn man sich das veranschaulicht braucht man nichts auswendig zu lernen, das man in Klausuren dann nachher mit ziemlicher Sicherheit verwechselt...)