Aussagen in Mengenlehre?
Hallo,
Mein Prof meinte, dass man das Morgansche Gesetz mit der Logik begründen kann.
Ich denke er meint, dass man die Negation einer Aussage mit dem Komplement gleichsetzen und dann mit den Verknüpfungen arbeitet. Aber warum ist das Konplement gleich der Negation?
Danke
2 Antworten
Weil
über einer bestimmten Grundmenge.
Das zeigt den Zusammenhang recht deutlich, das Komplement ist also eine Möglichkeit auszudrücken, dass etwas nicht in einer Menge ist - genauso wie die Negation.
Analog korrespondieren Konjunktion und Schnitt sowie Disjunktion und Vereinigung.
Es wird hier ja nichts gleichgesetzt, sondern es besteht einfach eine Dualität zwischen elementarer Mengenlehre und Aussagenlogik - Dinge verhalten sich einfach gleich. Zum Beispiel Gesetze wie
(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c
und
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B.
Die Negation entspricht dem Komplement, die Konjunktion dem Schnitt und die Disjunktion der Vereinigung. Auf diese Weise kann man viele logische Gleichheiten auf Mengengleichheiten übertragen und umgekehrt.
Alles klar danke, aber ist hier dein Beispiel nicht einfach willkürlicher? Denn bei meinem Fall ähnelt sich ja Komplement mit Negation usw.
Denn bei meinem Fall ähnelt sich ja Komplement mit Negation usw.
Hier doch genauso? Was meinst du mit willkürlich?
Ein kleiner Punkt passt mir auch noch nicht so richtig, nämlich das man das Komplement als eine Art Gegenteil sieht. Ja im Fall von Demorgan wo A und B eine Teilmenge von M sind past alles. Wenn wir aber das Komplement A\B bilden wobei es gilt das A und B sich nur schneiden, dann ist das Komplement nicht wirklich ein Gegenteil. Aber ich denke bei Demorgan passt es dennoch aufgrund der Teilmenge.
^c steht für das Komplement. Zu deinem anderen Kommentar: Wie gesagt, es ist eine intuitive Dualität, nichts streng formal gefasstes.
Ok habe verstanden. Einen allerletzten Punkt habe ich leider noch: Wenn ich eine Und-verknüpfte Aussage aus a und b habe und die verneinen will, ohne dabei a und bei einzeln zu verneinen und mit "Oder" zu verknüpfen, wie mache ich das. Ich will kurzgesagt das Äquivalent zum Komplement von A geschnitten B finden, aber als Aussage und nicht als Menge.
Ich könnte nur Raten. Man könnte das Komplement als das Gegenteil betrachten. Ist natürlich seltsam das so zu formulieren aber das hat mein prof mal gesagt.
Könntest du das bitte nochmal erklären, ich verstehe noch nicht ganz, warum man Aussage und Negation mit Mengen gleichsetzen kann oder es tun sollte. Danke