Ausdividieren eines Bruchs?
Hallo zusammen,
heute habe ich beim Räumen eine alte Mathearbeit von vor 20 Jahren entdeckt. Darin ist u.a. eine Aufgabe, die ich weder damals verstanden habe noch heute verstehe: "Beim Ausdividieren von 1/ 41 entsteht ein periodischer Bruch. Wieviel verschiedene Nachkommastellen wird er maximal haben? Mit Begründung. "
Weiß das jemand von euch? Bin gespannt!
4 Antworten
Hallo.
Zunächst ist 41 eine Primzahl, sie enthält also keine Faktoren wie z.B. 2, 4, 8 oder 5, die für sich zu nicht-periodischen Anteilen führen würden. Klingt nicht so wichtig, macht mir aber die nachfolgende Argumentation einfacher:
Wenn ich eine beliebige Zahl durch 41 teile, bleibt ein ganzzahliger Rest von 0 bis 40 übrig.
Wenn ich also 1/41 ausdividiere, habe ich für jede Nachkommastelle genau einen Fall dieser 41 möglichen Reste zur Verfügung.
Dazu kommt, dass jeder einzelne Fall bei der weiteren Division an der nächsten Stelle zu genau einem, klar bestimmten weiteren Fall führt.
Beispiel: Rest 13. Im nächsten Schritt muss ich 130/41 = 3 Rest 7 rechnen.
Dies gilt jedes Mal, wenn Rest 13 in der Division auftritt, egal an welcher Stelle. Im nachfolgenden Schritt wird immer Rest 7 bleiben.
Soll heißen: Jeder der 41 möglichen Fälle an Rest führt zu einem weiteren der möglichen Fälle an Rest, der Gesamtverlauf der Periode ist also Schritt für Schritt festgelegt und die Periode wird sich wiederholen, sobald einer der vorher schon aufgetretenen Reste wieder erreicht wird.
Dazu gilt weiter, dass der Rest 0 nie erreicht werden kann, denn das würde nur geschehen, wenn der Dividend ein Vielfaches von 41 wäre. Ebenso würde der Dezimalbruch an dieser Stelle enden, denn bei Rest 0 hört man auf, weiter zu dividieren. Von den möglichen 41 Resten bleiben also 40 Reste übrig, die für die Periode in Frage kommen können.
Im maximalen Fall wandert man bei der Periode also Schritt für Schritt durch alle möglichen Reste, außer der Null, die sich bei der Division durch 41 ergeben können. Das sind insgesamt 40 verschiedene Reste, die Periode kann also maximal 40 Stellen lang sein.
Viele Grüße!
Den kannte ich noch nicht, wieder mal was gelernt.
https://de.serlo.org/mathe/zahlen-groessen/bruchrechnen-dezimalzahlen/dezimalbrueche/periode-bruchs
Jede Dezimalzahl kann höchstens eine so lange Periode haben wie der Nenner im entsprechenden Bruch minus 1.
Danke nicht mir, sondern Google. Wie gesagt, das war für mich auch neu. Zahlentheorie war ein Gebiet was ich im Studium nur über andere Fächer (Lineare Algebra, Algebra I) behandelt habe.
Hier ist es sehr schön erklärt (kannte ich bisher übrigens noch nicht, also danke für die Frage!): https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/periodenlaenge.htm
Tatsächlich kann man die Periodenlänge stärker abschätzen als "Nenner minus eins", es ist aber auch mühsamer, in dem Fall wäre es also einfacher die Division durchzuführen und dadurch festzustellen, dass die Periode die Länge 5 hat.
1/41 = 0,02439024390243902439024390243902...
Und warum? Immerhin hat der Mathelehrer seinerzeit eine Begründung gefordert.
Super, danke! Du hast mal eben ein Problem aus meiner Kindheit gelöst! 😂