Arithmetischen Mittelwert des Stromes berechnen?

Kann mir jemand bei diesem Beispiel helfen bitte, ich komme hier wirklich nicht mehr weiter..

Answer 1

[mihisu]

Der Stromverlauf folgt anscheinend der Gleichung...

$i(t)=I_1\cdot\left\lvert \sin(\frac{\pi\cdot t}{T})\right\rvert$

Für den arithmetischen Mittelwert erhält man...

$I_\text{avg}=\frac{1}{T}\cdot \int\limits_{0}^{T}i(t)\,\text{d}t$ $=\frac{1}{T}\cdot \int\limits_{0}^{T}I_1\cdot\left\lvert \sin(\frac{\pi\cdot t}{T})\right\rvert \,\text{d}t$ $=\frac{1}{T}\cdot I_1\cdot \left[-\frac{T}{\pi}\cdot\cos(\frac{\pi\cdot t}{T})\right]_{t=0}^{t=T}$ $=\frac{1}{T}\cdot I_1\cdot \left[-\frac{T}{\pi}\cdot\cos(\frac{\pi\cdot T}{T})-\left(-\frac{T}{\pi}\cdot\cos(\frac{\pi\cdot 0}{T})\right)\right]$ $=\frac{1}{T}\cdot I_1\cdot \left[-\frac{T}{\pi}\cdot\underbrace{\cos(\pi)}_{-1}+\frac{T}{\pi}\cdot\underbrace{\cos(0)}_{=1}\right]$ $=\frac{1}{T}\cdot I_1\cdot 2\cdot\frac{T}{\pi}$ $=\frac{2}{\pi}\cdot I_1$

Damit solltest du nun anhand der Gleichung

$I_\text{avg}=\frac{2}{\pi}\cdot I_1$

den Scheitelwert berechnen können.

[Oder vielleicht ist dir auch bereits 2/π als Gleichrichtwert bezogen auf den Scheitelwert für sinusförmige Signale bekannt. Dann kannst du dir natürlich die Herleitung über die Integralrechnung sparen und direkt die entsprechende Gleichung ansetzen.]

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Für den Effektivwert erhält man, wie bei einem normalen sinusförmigen Verlauf...

$I_\text{rms}=\frac{I_1}{\sqrt{2}}\ \text{ bzw. }\ I_1=\sqrt{2}\cdot I_\text{rms}$

Zur Herleitung dieser Beziehung kann man anhand der Definition des Effektivwerts als quadratisches Mittel nachrechnen...

$I_\text{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\cdot\int\limits_{0}^{T}\left(i(t)\right)^2\,\text{d}t}=\ldots=\frac{I_1}{\sqrt{2}}$

Bzw. kann man erkennen, dass zum Vergleich für den sinusförmigen Verlauf

$i_\text{vergleich}(t)=I_1\cdot \sin(\frac{\pi\cdot t}{T})$

das Quadrat mit dem Quadrat des vorliegenden Stromverlaufs übereinstimmt, da die Betrags beim Quadrieren dann keine Rolle mehr spielt. Dementsprechend ist der Effektivwert genauso wie der Effektivwert bei einem sinusförmigen Verlauf, den man bereits kennen sollte als das (1/√(2))-fache des Scheitelwerts.

Für den Scheitelfaktor erhält man dann, wie bei einem normalen sinusförmigen Verlauf, ...

$c_I = \frac{I_1}{I_\text{rms}}=\frac{\sqrt{2}\cdot I_\text{rms}}{I_\text{rms}}=\sqrt{2}$