Analysis im Abitur (Integrale)?

Moin,

gegeben ist ein Kanal mit 2000m Länge und und der Boden hat die Form einer Parabel 1/8x^2, wobei eine Einheit einen Meter darstellt. Wie berechnet man nun wie hoch das Wasser stehen muss, wenn der Kanal mit 10.000 Kubikmetern Wasser gefüllt ist?

komme da leider null weiter…

(ungefähre Skizze)

Answer 1

[evtldocha]

Querschnitt des Kanals von x=-a bis x=+a ist ein Rechteck der Länge 2a und der Höhe h = f(a) abzüglich der Fläche unterhalb der Funktion (= Integral):

$Q=2\cdot a\cdot h\ -\int_{_{-a}}^{^{+a}}f\left(x\right)\ dx\ =2\cdot a\cdot f\left(a\right)\ -\int_{_{-a}}^{^{+a}}f\left(x\right)\ dx\$

Das Volumen V ist dann (Einheit "m" lasse ich mal weg)

$V\left(a\right)=Q\left(a\right)\cdot2000\ \ =\ 10000\$

Das heißt: Nachdem der Querschnitt in "Abhängigkeit von a" berechnet ist, ergibt sich insgesamt eine eine Gleichung die nach "a" aufgelöst werden muss. Damit ist "a" bestimmt und f(a) ist dann die gesuchte Höhe.

Skizze:

Zur Kontrolle (ist zumindest mein Ergebnis):

$a=\sqrt[3]{30}\ ;\ h\ =\ \frac{1}{8}\sqrt[3]{30}^2$