Analysis 1 Mathe Hilfe bei der Aufgabe?

Hey bräuchte dringen bei Aufgabe 3B) Hilfe. Ich muss die Aufgabe abgeben und mir fehlt diese als einzige vom ganzen Aufgabenblatt

Vielen dank

Answer 1

[Rammstein53]

Diese Behauptung lässt sich über die Additionstheoreme

2 * cos²(x) = cos(2x) + 1

2 * sin(x) * cos(x) = sin (2x)

beweisen (gelten auch für sinh,cosh).

Will man die Additionstheoreme nicht nutzen, setzt man

sinh(x) = 1/2 * (e^x - e^-x)

cosh(x) = 1/2 * (e^x + e^-x)

Man erhält dann die Gleichung

1/2 * (e^(x/2) - e^(-x/2)) * 1/2 * (e^(x/2) - e^(-x/2)) =

1/2 * (e^(x) - e^(-x)) * 1/2 * (e^(x) - e^(-x)) / ( (e^(x) + e^(-x)) + 2)

Ausmultiplizieren :

1/4 * e^-x * ( e^(2x) - 1) = 1/4 * e^-x * ( e^(2x) - 1)

q.e.d.

Answer 2

[mihisu]

Dir sind die Identitäten

bekannt, nehme ich mal an. [Diese Identitäten werden oftmals sogar zur Definition von sinh und cosh genutzt.] Mit denen und ein paar weiteren bekannten Rechenregeln zu Potenzen bzw. zur Exponentialfunktion sollte die Aufgabe dann doch kein Problem sein. Nutze die genannten Identitäten doch einfach mal. Wenn du von einer Seite aus [beispielsweise von sinh(x+y) ausgehend] nicht direkt zur anderen Seite kommst, versuche von der anderen Seite [sinh(x)cosh(y)+cosh(x)] entgegenzurechnen.

Comments

[Quotenbanane]

Die e-Definition der beiden Funktionen hat mir auch auf Anhieb gefallen. Nur weitergekommen bin ich dann nicht. Da muss man wohl, wie du bereits gesagt hast, schlau substituieren.

[mihisu]

@Quotenbanane

Naja, man muss halt ein wenig rumrechnen. Die Substitution mit u = e^x habe ich vorgeschlagen, da man dann eine Umformungen vielleicht leichter erkennen kann, die hier weiterhelfen können.

Ich habe vorhin mal die Aufgabe selbst durchgerechnet, um zu schauen, wie schwer die Aufgabe ist. Und ich muss sagen, dass ich nachvollziehen kann, wenn sich die ein oder andere Person mit der Aufgabe evtl. etwas schwer tut.

Hier habe ich mal einen Lösungsvorschlag aufgeschrieben: https://www.dropbox.com/s/xw1iks1krskpffi/sinhcosh.pdf?dl=0

Ich hatte das zunächst ohne Substitution durchgerechnet und aufgeschrieben, dann aber auf Seite 2 nochmal einen Weg mit Substitution u = e^x aufgeschrieben.

[mihisu]

@mihisu

Der Rechenweg von Quotenbanane ist beispielsweise kürzer als mein Rechenweg. Allerdings werden da Identitäten benutzt, von denen ich mir nicht sicher bin, in wie weit die bei euch behandelt wurden. Dementsprechend müsste man diese Identitäten dann vielleicht noch beweisen, wenn man sie benutzen möchte. Wenn man die Identitäten jedoch kennt, ist die Aufgabe etwas schneller gelöst.

[mihisu]

Vielleicht hilft es dir auch bei Teilaufgabe b) zwischendurch u = e^x zu substituieren. Dann könntest du zwischendurch auf (u - 1)²/(4u) kommen. Versuche also von beiden Seiten ausgehend auf (u - 1)²/(4u) zu kommen, nachdem du zwischendurch mal u = e^x substituierst, also e^x durch u und e^(-x) durch 1/u ersetzt.

[mihisu]

Wobei mir gerade aufgefallen ist: Die Aufgabe ist wohl im von dir angehängten Bild am rechten Rand abgeschnitten. Denn

sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x)

ist im Allgemeinen falsch. Da sollte wohl eher

sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y)

stehen.

Answer 3

[Quotenbanane]

$\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sinh^2\left(x\right)}{2\cdot\left(\cosh\left(x\right)+1\right)}$

$\frac{\sinh^2\left(x\right)}{2\cdot\left(\cosh\left(x\right)+1\right)}=\frac{\sinh^2\left(x\right)}{2\cdot\left(\cosh^2\left(\frac{x}{2}\right)+\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right)+1\right)}=\frac{\sinh^2\left(x\right)}{2\cdot\left(2\cosh^2\left(\frac{x}{2}\right)\right)}$

$=\frac{\sinh^2\left(x\right)\cdot2^2\cdot\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right)}{4\sinh^2\left(x\right)}=\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right)$

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Erklärung:

Die erste Umformung folgt dem Gesetz.....

$\cosh\left(2x\right)=\cosh^2\left(x\right)+\sinh^2\left(x\right)$

Die zweite Umformung ist nichts anderes, als dass man die Identität....

$\cosh^2\left(x\right)-\sinh^2\left(x\right)=1$

für 1 einsetzt. Ich habe da auch gleich die cosh zusammengezählt.

Die dritte Umformung, die ich eigentlich selbst viel zu lange übersehen habe, kommt man mit der Identität....

$\sinh\left(2x\right)=2\sinh\left(x\right)\cosh\left(x\right)$

Welche in unserem Fall, da wir es mit quadrierten Hyperbelfunktionen zu tun haben, folgendermaßen aussieht...

$\sinh^2\left(2x\right)=2^2\sinh^2\left(x\right)\cosh^2\left(x\right)$

Nach cosh im Nenner umgeformt.

Quelle für die Identitäten, da ich sie nicht im Kopf habe: http://www.mathcentre.ac.uk/resources/Engineering%20maths%20first%20aid%20kit/latexsource%20and%20diagrams/3_6.pdf

LG

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium