Am Ende einer Mail habe ich diesen Ausdruck gesehen: "Dir weiter gute Besserung". Was bedeutet "weiter" hier?

Er oder sie ist schon auf dem Wege der Besserung. Man hofft, dass dieser Fortschritt auch anhält/weitergeht.

Sprachlich besser ist: „Dir auch weiterhin gute Besserung.“ Damit ist klarer ausgedrückt, dass es sich um ein zeitliches "Weiter" handelt.

Kurz für „weiterhin”, also zukünftig