5-stellige Zahl bilden aus 1,1,1,8,8

Ich soll aus den Ziffern 1,1,1,8,8 eine 5-stellige zahl bilden. Es soll selbstverständlich immer 3 * 1 und 2 * 8 darin vorkommen. Das Ergebnis ist mir bekannt, doch der Rechenweg nicht. (fehlt im Protokoll) Und bitte nicht durch ausprobieren , sondern nur mathematisch als Formel. :) Danke!

Answer 1

[PWolff]

Ich nehme mal an, du sollst die Anzahl der möglichen 5-stelligen Zahlen bestimmen.

Wären die Ziffern alle verschieden, so hättest du 5! = 120 Möglichkeiten.

Wenn 2 Ziffern gleich sind, so erhältst du bei Vertauschung dieser 2 Ziffern wieder dieselbe Zahl, d. h. du musst die Gesamtzahl durch 2! teilen.

Wenn 3 Ziffern gleich sind, entsprechend durch 3!.

etc.

D. h. hier:

5! / (2! * 3!)

Siehe auch

http://de.wikipedia.org/wiki/Multinomialkoeffizient#Anordnung_von_Dingen

Woher ich das weiß: Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Comments

[Olyks]

Danke , du hast richtig erfasst, es ging mir natürlich um die maximalen Möglichkeiten. Aber so ist es verständlich und ich kann es in die Formelsammlung übernehmen.

[PWolff]

Um es etwas anschaulicher zu machen:

Nimm verschiedenfarbige Kärtchen und schreib die Ziffern darauf.

Dann kannst du alle Ziffern unterscheiden und hast natürlich 5! unterscheidbare Anordnungen.

Wenn du die Zahl aber in dein Heft abschreibst (ohne Farbstifte), verschwindet die Farbinformation.

D. h. die Kombinationen

1(rot) 1(gelb) 1(grün) 8(blau) 8(lila)

und

1(gelb) 1(grün) 1(rot) 8(lila) 8(blau)

kann im Heft nicht unterschieden werden.

Egal, wie die Achten angeordnet sind und wo sie stehen, du hast für die Einsen immer 3! = 6 Möglichkeiten, sie anzuordnen. Aber im Heft kannst du nicht dazwischen unterscheiden.

D. h. für jede Anordnung der Achten hast du jeweils 3! ununterscheidbare Anordnungen der Einsen. Daher kommt schon mal eine 3! im Nenner.

Auch wenn du alle diese Möglichkeiten zusammenfasst, also nicht mehr unterscheidest zwischen

1(gelb) 8 (lila) 8(blau) 1(grün) 1(rot)

und

1(grün) 8(lila) 8(blau) 1(gelb) 1(rot)

usw., hast du bei jeder dieser Zusammenfassungen immer noch 2! Möglichkeiten, die Achten anzuordnen. Daher kommt dann die 2! im Nenner.

Wenn du z. B. die Ziffern

1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 5, 8, 8

hättest, hättest du für die Dreien 4! Möglichkeiten, sie umzusortieren, und für die Fünf 1!. (Wie oben für jede der anderen Anordnungen der übrigen Ziffern.)

Insgesamt also

10! / (3! * 4! * 1! * 2!)

Möglichkeiten.