4 Stangen von je 2 Meter Länge, Pyramide mit quadratischer Grundfläche, gesucht Maximales Volumen durch Höhe h und Seite a. Wie muss man hier rangehen?
3 Antworten
V = G * h / 3 oder V = a² * h / 3
Mit Hilfe eines Dreiecks aus der Stange (4 m ist dann Hypotenuse) und
der halben Diagonale a/2 * √2
kriegen wir mit Pythagoras
a = √(32-2h²)
Daraus resultiert V = (32 - 2h²) * (h/3)
V' = irgendetwas, das Wolfram oder eine händische Ausrechnung angibt.
Für V' = 0 ergibt sich das Maximum bei h = 4/√3 m.
Das maximale Volumen ist dann 16,4224 m³
Für die Diagonale des Quadrats gilt d² = 2a² (Pythagoras).
Also ist d = a * √2.
h beginnt aber in der Mitte des Quadrats. Wenn du ein rechtwinkliges Dreieck mit der Kante bilden willst, ist eine Kathete nur die Hälfte der Diagonalen, also (a/2 * √2).
Aber ich sehe gerade, dass da ein Lapsus ist. Das ist auch zu blöd, dass man nicht alles auf einmal auf dem Schrim hat. Die Stange hat nicht die Länge von 4, sondern nur von 2 m. Das ändert die Beziehungen ein wenig. Denn für dieses Dreiceck mit der Kante gilt in Wirklichkeit
h² + (a/2 * √2)² = 4. Ich hatte 16 geschrieben (4²).
h² + (a² * 2)/4 = 4
a²/2 = 4 - h²
a² = 8 - 2h² Das ist nicht dasselbe wie in der Antwort, aber dasselbe Prinzip.
V und V' kannst du damit analog bestimmen. Aber das maximale Volumen wird etwas anders werden.
Hallo Claapz!
Der erste Schritt Deiner Aufgabe ist eher eine Denkaufgabe, wie man vier Stangen so aneinanderfügen kann, um das maximale Volumen zu erreichen. Da Du nur vier Stangen hast, kannst Du mit den Stangen also nicht die ganze Pyramide abbilden. Die Frage ist dann natürlich, was muss denn abgebildet werden? Wenn die quadratische Grundfläche definiert ist, dann reicht vielleicht die Abbildung einer einzigen Seite der Grundfläche? Dann hättest Du die Wahl zwischen Seite a = 6 m, Höhe h = 2 m, oder a = 4 m, h = 4 m, oder schließlich a = 2 m, h = 6 m.
Die drei Rechnungen kannst Du ja mit Karsten1966s Formel leicht machen.
Gruß Friedemann
Ist bei mir in der Schule schon zu lange her, daß ich Dir die komplette Aufgabe mit Zahlen lösen kann. Jedenfalls hast Du hier eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung. Die Grundfläche der Pyramide ist a*a. Das Volumen ist 1/3*a*a*h. Die Höhe h ist nach Anwendung des Satzes v Phytagoras h=Wurzel(2-a^2). Jetzt kommt noch das Einsetzen, Bildung der ersten Ableitung, fertig.
Alles unter Vorbehalt (wie gesagt, schon lange her). Vielleicht hilft diese Seite :
@Claapz:
Vielen Dank für deine Bedankung :-)
Das Prinzip stimmt auf alle Fälle. Du müsstest es nochmal nachrechnen, falls mir ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen ist. Aber das müsstest du ja hinkriegen.