3x^2-4x-4=0 wie berechne ich diese Aufgabe mit der quadratischen Ergänzung?
5 Antworten
Zuerst die 3 ausklammern und dann den Ergänzungsterm ermitteln. Schaue dir nochmal die binomischen Formeln an. (x-a)² = x² - 2ax +a², also ist rückwärts, wenn du dort x² -bx stehen hast -2a = -b, daraus folgt, dass a = b/2 ist, somit ist x² -bx = (x-b/2)² - C. Die daraus entstehende Konstante musst du wieder abziehen, denn sonst passt die Gleichung nicht. C = (b/2)²
3x²-4x-4=0 | +4 3x²-4x = 4 | :3 x²-(4/3)x = 4/3 (x-2/3)²-4/9 = 4/3 | +4/9 (x-2/3)² = 16/9 x1 = 2 x2 = -2/3
3x² - 4x - 4 = 0
Vorschlag: Du benötigst eine x² "Formel" - Teile also durch 3...
x² - (4/3)x - 4/3 = 0
x² - (4/3)x .... = 4/3 ... -> jetzt die quadratische Ergänzung (2/3)²
x² - (4/3)x + (2/3)² = 4/3 + (2/3)²
(x - 2/3)² = jetzt du!
Die quadratische Ergänzung dient nur zur Umformung in die Scheitelpunktform.
3x^2-4x-4=y
3 *(x^2 - 4/3 *x) - 4 =y binomische Formel (a-b)^2=a^2-2ab +b^2
2ab=4/3 *x hier ist a=x und 2*b=4/3 ergibt b= 2/3 und b^2=4/9
3 *(x^2 -4/3 + 4/9) - 3*4/9 -4=y
3 *(x - 2/3)^2 - 16/3=y Scheitelpunkt bei x=2/3 y=-16/3
Hinweis : - 3 * 4/9 musste wegen der quadratischen Ergänzung hinzu gefügt werden,weil die Gleichung nicht verändert werden darf !!
3 *x^2 - 3 * 4/3 +3*4/9 - 3 * 4/9 - 4=y ,3 * 4/9 - 3 *4/9=0
Die Nullstellen berechnest du mit der q-p-Formel ,siehe Mathe-Formelbuch
x^2 - 4/3 *x - 4/3 = 0 hier ist q=- 4/3 und p=-4/3
Hier wäre es besser durch 3 zu teilen und mit der pq-formel weiter zu rechnen.