2 Formeln für den Erwartungswert?

Für den Erwartungswert gibt es zwei formeln, einmal:

E(x) = x1 * P(X=x1) + x2 * P(X=x2) ....

oder
E(x) = n * p

DIe erste Formel macht sinn für mich, man rechnet die Treffer anzahl mal die WK , dass dieser Treffer eintritt und addiert so alle trefferwahrscheinlichkeiten zusammen.
DIe zweite berechnet den höchsten balken bei der binomialverteilung, aber warum kann ich den höchsten balken nicht auch mit der ersten formel berechnen? wo ist da der unterschied?

Answer 1

[Rammstein53]

$E\left(X\right)\ =\ \sum_{k=1}^n\left(xk\ \cdot\ pk\right)$

Im Fall der Binomialverteilung sieht E(X) so aus:

$E\left(X\right)\ =\ \sum_{k=1}^nk\ \cdot\ \binom{n}{k}\cdot p^k\ \cdot\left(1-p\right)^{n-k}$

Mithilfe von binomischen Formeln lässt sich beweisen, dass diese Summe dem Produkt n*p entspricht.

E(X) = n * p ist damit im Fall der Binomialverteilung lediglich eine Vereinfachung der obigen Summe.