1/7 als Dezimalzahl darstellen ohne Taschenrechner?
Hallo,
ich frage mich, wie ich aus dem Kopf feststellen soll, welche Dezimalzahlen hinter 1/6, 1/7, 1/8 stehen. Gibt es dort spezielle Regeln?
Danke im voraus!
9 Antworten
Es gibt Regeln:
Im Dezimalsystem (in dem wir rechnen) haben Kehrwerte einer Zahl n, die nur 2 und 5 als Primfaktoren enthält, endlich viele Nachkommastellen.
Sobald in n ein Primfaktor auftritt, der nicht in 10 enthalten ist, also z.B. 3 oder 7, ist 1/n periodisch, wobei die 3 zu relativ kurzen und 7 zu langen Perioden führt.
Das bekommt man durch das vorgeführte schriftliche Dividieren heraus, wobei man, wenn 1/n periodisch sein sollte, eine Wiederholung des Schemas merkt. Beispiel ⅓:
1 ÷ 3 = 0,33…
0
10
09
010
009
…
Die Rückmultiplikation wird immer 9 geben und die Differenz immer 1, und das Spiel geht von vorne los. Ein wenig anders ist das bei 1/6, wo die Periode erst nach der ersten Stelle losgeht, oder eben 1/7, wo sie selbst aus 6 Stellen besteht:
1/7 = 0,{142857}̄
Dass Paare von Nachkommastellen Zweierpotenzen mal 7 sind, ist kein Zufall. Bekanntlich ist 7⋅=49 und damit (1/7)/7=1/49. Das lässt sich als 1/(50–1) = (1/50)/(1–(1/50)) auffassen, und das ist ein Fall für die geometrische Reihe
x/(1–x) = &sum_[k=1]^{∞} x^{k},
in diesem Falle mit x=1/50 und somit
1/49 = 1/50 + 1/50² + 1/50³ + 1/50⁴ +… = 0,02040816…
(die Periode ist noch länger) - und das Ganze eben mal 7.
Rechne doch einfach stattdessen 1000/6 ~ 166 oder 1000/7 ~ 142. Dann verschiebe das Komma drei Stellen nach links : 166 -> 0,166 oder 142 -> 0,142.
Wenn Du mehr Stellen hinter dem Komma brauchst, dann nimm statt 1000 eine höhere Zehnerpotenz, das Komma im Ergebnis muss dann entsprechend weiter nach links verschoben werden.
Bei 1/6 und 1/8 hat man, wenn man aufgepasst hat, die Brüche im Kopf oder kann sie schnell rekonstruieren.
Denn 1/3 ist bekanntermaßen 0,33333...
Auf 1/6 muss man nochmal halbieren, also: 0,16666666...
1/8 ist noch einfacher. Es folgt der Linie 1/2 (= 0,5), 1/4 (= 0,25), 1/8 (= 0,125), also immer halbieren.
(Eselsbrücke: 500 -- 250 -- 125)
1/7 müsste man schriftlich rechnen, - solange, wie man Freude daran hat; man beschränkt sich aber gern auf die ersten Stellen. Im Gegensatz zu 1/6 ist es nicht periodisch, aber unendlich.
1 : 7 = 0,14285 ≈ 0,1429
10
7
___
30
28
___
20
14
___
60
56
___
40
Es geht alles ohne Maschinen
in diesen Grüßenordnungen.
Die Sache mit den Siebteln ist wirklich interessant, und es lohnt sich, dies mal genau anzuschauen. Dann kann man nämlich ganz leicht alle Brüche der Form ganze Zahl / 7 dezimal hinschreiben. Es gilt nämlich:
1/7 = 0.142857142857142857.....
2/7 = 0.285714285714285714.....
3/7 = 0.428571428571428571.....
4/7 = 0.571428571428571428.....
5/7 = 0.714285714285714285.....
6/7 = 0.857142857142857142.....
7/7 = 0.999999999999999999..... = 1
8/7 = 1.142857142857142857.....
9/7 = 1.285714285714285714.....
etc.
Die genaue Betrachtung zeigt, dass man es bei den Brüchen, die nicht ganzzahlige Werte haben, stets um periodische Dezimalzahlen mit der Periodenlänge 6 handelt. Noch interessanter: alle diese Sechser-Perioden entstehen auseinander durch einfache zyklische Vertauschungen ! Man merke sich also nur die Ziffernfolge
1,4,2,8,5,7
und hat damit praktisch alle Brüche mit dem Nenner 7 dezimal im Griff !
Schriftliche Division
Du könntest die schriftliche Division natürlich auch wiederholen, bis Du merkst, dass sich etwas wiederholt. Dann weißt Du, dass dort eine neue Periode beginnt.