1000 Münzwürfe Wahrscheinlichkeit?
Hallo liebe Community,
in einer Diskussion gestern hab ich gemerkt, dass ich eindeutig schon zu lange aus der Schule draußen bin. Daher eine Frage an die Mathematiker unter euch:
Ich plane eine ideale Münze 1000 mal zu werfen.
Z = Anzahl Würfe mit Zahl
K = Anzahl Würfe mit Kopf = 1000 - Z
Gilt hier nun: P(K): P(1000) = P(500), oder P(1000) < P(500)
Das erste wäre die Laplace-Verteilung, das zweite die Binomialverteilung.. was ist hier korrekt?
Ich nehme an die Frage ist ob hier die Reihenfolge relevant ist oder nicht, aber ich komme mit der gedanklichen Argumentation einfach nicht weiter.
Vielen Dank und LG!
2 Antworten
Eine Laplace-Verteilung ist eine sehr merkwürdige Verteilung eigentlich ohne Beispiele in der Realität https://de.abcdef.wiki/wiki/Laplace_distribution#Occurrence_and_applications). Ihre Dichtefunktion hat im Exponenten die Wurzel aus dem Exponenten in der Normalverteilung
Ein Laplace-Experiment ist was ganz anderes, es ist eines, bei dem jeder EINZELNE Ausgang (in einer Binomialverteilung oder Multinomialverteilung) die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Dein P(K=500) setzt sich aus einer riesigen Menge von einzelnen Laplace-Experimenten zusammen: 500*K dann 500*Z / 499*K dann 500*Z dann 1*K / 499*K dann 1*Z dann 1*K dann 499*Z ... Zu K=1000 gibt es nur einen Pfad, und daher gilt P(K=1000) = 0,5^1000. Für K=500 musst Du (jeder der o.g. Ausgänge hat wegen p=0,5 und q=1-p auch =0,5) diese Ws mit der Anzahl Pfade multiplizieren, und die ist 1000 über 500.
Hallo,
das berechnet man normalerweise über die Binomialverteilung. Erwartungswert für Kopf ist 1000*0,5=500.
Von allen möglichen Ergebnissen für Kopf hat 500 die höchste Wahrscheinlichkeit.
Herzliche Grüße,
Willy
Da hast Du etwas falsch verstanden. Die jeweils gleiche Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf den einzelnen Wurf. Nach jedem Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf wieder 1/2, unabhängig davon, was vorher geworfen wurde. Außerdem müssen sich Ereignis und Gegenereignis zu 1 ergänzen, was hier der Fall ist, denn 1/2+1/2=1.
Die Anzahl bestimmter Ereignisse in einer Serie von Versuchen bestimmt man dann über die Bernoullikette. Bei n Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein bestimmtes Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p k mal vorkommt gleich
(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k).
Bei n=1000, k=500 und p=1/2 bekommst Du
(1000 über 500)*(1/2)^500*(1/2)^500=2,52 %.
Das ist die höchste Prozentzahl, die Du für ein k zwischen 0 und 1000 bekommen kannst. Berechnest Du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für k=0 bis k=1000 und addierst sie, kommst Du genau auf 1.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis zwischen 0 mal Kopf und 500 mal Kopf liegt bei 51,26 %.
Intuitiv würde ich auch davon ausgehen.. Aber widerspricht das nicht dem Laplace-Experiment, bei dem alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind? Oder ist die Anzahl der Ausgänge, in denen 500x K geworfen wird, größer als für andere Werte?