Zuteilung von Personen zu Altersgruppen. Wahrscheinlichkeit dass genau eine Person in einer Altersgruppe ist?
10 Personen werden in 4 Altersgruppen zugeteilt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer oder mehreren Gruppen genau eine Person ist?
Gerne mit Lösungsweg. Dann könnte ich selbst mit Anzahl Personen und Gruppen spielen.
3 Antworten
Moin, keine Garantie für Richtigkeit.
Problemaufteilung:
Da keine Information darüber gegeben ist, wie festgelegt wird, welcher Gruppe man zugewiesen wird, gehe ich mal davon aus, dass jede Gruppe gleich wahrscheinlich ist.
Also P("Person X in Gruppe Y") = 1/4
Gesucht: P("Mindestens 1 Gruppe hat genau 1 Person")
Das lässt sich aufteilen in die Summe der Wahrscheinlichkeiten:
1. In genau 1 der vier Gruppen ist genau 1 Person, der Rest beliebig verteilt
2. In genau 2 der Gruppen ist genau eine
3. In genau 3 der Gruppen ist genau eine
(In allen 4 ist unmöglich)
Grundmenge:
Jede Zuteilung der 10 Personen zu den 4 Gruppen bildet ein Elementarereignis.
Es gibt für jede der 10 Personen 4 Möglichkeiten eine Gruppe auszuwählen.
Also 4 für die erste, dann für jede der 4 Möglichkeiten 4 für die 2. Person dann für jede dieser 4*4 Möglichkeiten 4 für die 3. etc.
Insgesamt also 4^10 Elementarereignisse.
(Die Menge dieser Ereignisse nennt man auch die Grundmenge)
Um die WK zu berechnen, muss man jetzt berechnen wie viele Elementarereignisse zu den jeweiligen Ereignissen 1., 2. und 3. gehören.
(Man muss dabei darauf achten, ob sich manche Ereignisse Elementarereignisse teilen, damit man die nicht doppelt einrechnet. Ich habe die Aufteilung aber so gewählt, dass die Ereignismengen disjunkt sind)
Also P(1.) = Anzahl für 1. / Anzahl Elementarereignisse
und P(gesucht) = P(1.) + P(2.) + P(3.)
Berechnung von 1.
Die Anzahl der für 1. gültigen Zuordnungen ergibt sich aus
- Der Anzahl der Möglichkeiten 1 aus 4 Gruppen auszuwählen
- Für jede dieser Möglichkeiten, der Anzahl der Möglichkeiten 1 aus 10 Personen auszuwählen
- Für jede dieser Möglichkeiten, die Möglichkeiten, die übrigen 9 Personen zu verteilen
Formell geschrieben:
(4 1) * (10 1) * 3^9 = 4*10*3^9
Die 3^9, da für jede der 9 Personen, jeweils die 3 übrigen Gruppen wählbar.
Also ist P(1.) = (40 * 3^9) / 4^10
Rest:
Analog ist
P(2.) = [(4 2) * (10 2) * 2^8] / 4^10
P(3.) = [(4 3) * (10 3) * 1^7] / 4^10
Hierbei steht jeweils (n k) für den Binomialkoeffizient.
Schon ist mir ein Fehler aufgefallen: Die Ereignismengen sind so wie ich sie berechnet habe doch nicht disjunkt.
Denn die anderen beliebig zu verteilen bedeutet insbesondere für 1. zB auch sie passend für 2. zu verteilen.
Das kann man lösen, in dem man doppelte wieder rausrechnet, aber da muss ich erstmal nochmal drüber nachdenken
Meine Gedanken:
Wenn man von einer zufälligen Verteilung ausgeht, bei der jede Person zu 25% in je eine der 4 Gruppen fällt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass nur Person 1 in Gruppe 1 fällt, ist:
0,25 * 0,75^9
Nun gibt es aber 10 Personen, die Wahrscheinlichkeit gilt für jede von denen:
10 * 0,25 *0,75^9
Und das gilt für jede der 4 Gruppen:
4 * 10 * 0,25 * 0,75^9
Ausgerechnet sind das etwa 75% - was mir aber ein wenig viel vorkommt.
EDIT: Weiterer Gedanke
Die Aufteilung der 10 Personen auf 4 Gruppen kann man auch sehen als 10-stellige Zahl im 4er-System. Die Gruppen 1-4 entsprechen dabei den Ziffern 0-3.
Es gilt nun, die Anzahl der Zahlen zu finden, bei denen eine Ziffer genau ein Mal vorkommt.
Die 75% hat mir ChatGPT auch so genannt. Wenn ich mit anderen Zahlen spiele, scheint mir die Formel plausibel. Danke euch für die Unterstützung
Wenn es eine Person ist, ist die wahrscheinlichkeit 1, sonst hängt das von fer Verteilung des Alters ab.
Hoi Oskar
Sorry, ich glaube, ich habe meine Aufgabe unklar gestellt und habe versucht, dies in einer angefangenen Tabelle aufzuzeigen. Alle Spalten mit mind. einer 1 sind positive Ereignisse
Alter Mögliche Zuteilungen zu den Altersgruppen
15 - 30 10 9 9 9 8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 6 ....
31 - 40 0 1 0 0 1 1 0 2 0 0 3 0 0 2 2 1 1 0 0 1 4 ....
41 - 50 0 0 1 0 1 0 1 0 2 0 0 3 0 1 0 2 0 2 1 1 0 ....
51 - 65 0 0 0 1 0 1 1 0 0 2 0 0 3 0 1 0 2 1 2 1 0 ....
Ereignis - + + + + + + - - - - - - + + + + + + + -
Wie wird die Wahrscheinlichkeit aller positiven Ereignissen berechnet?
(Eigentlich ist das ganze noch komplexer, weil die Altersgruppen nicht identisch gross sind. Aber darauf möchte ich gar nicht eingehen, sonst müsste ich noch die Demografie der Schweiz mit einberechnen.)