Zentripetalkraft?
Hätte nochmal ne Frage bezüglich der Zentripetalkraft.
Im Unterricht haben wir aus
F(z) ~ m
F(z) ~ r
F(z) ~ 1/T²
die Formel : (4 pi) × (m×r/T²)
1.- Frage: wie kommt man auf diese Formel? (Also mathematisch) (Das wurde in Unterricht nicht erklärt; wir sollten es so hinnehmen.)
Die Hausaufgabe dazu war aus eben dieser Formel die allgemeine Formel der Zentripetalkraft herzuleiten, also: (m×v²)/r
Dazu gibt es nun ja auch noch die Formel:
m×r×w² , die auch die Zentripetalkraft abgibt.
Ich weiß, dass w= 2pi × f und F= 1/T.
V= 2 pi × r × F (bin mir grad nicht sicher)
Kann mir also irgendjemand den Zusammenhang zwischen diesen 2 Formeln und dieser 4pi-Formel erklären?
Wie man darauf kommt?
Als Nebenfrage: ich hae schon woanders gesucht, wo stand man sollte zu
(m × r) / t² noch w hinzuzufügen. Die Musterlösung war dann (m × r × 2pi) / t²
= m×r×w².
Dann wurde ne Proportionalitätskonstante eingefügt und ich sar raus aber ich hab schon nicht verstanden wie man einfach nur 2 pi in die Gleichung einsetzen kann, wo die Formel für w ja= 2 pi × f (f=1/T) ist.
Wie kommt da dann aufeinmal m×r×w² raus?
Ja ne Menge Fragen
Bin auf Hilfe angewiesen
2 Antworten
Ich denke, es fehlt bei deiner Formel ein Quadrat beim pi, könnte das sein? Es sollte also heißen
F_z = (4 pi²) × (m×r/T²)
Deine Frage nach dem Vorfaktor ist sehr gut, aber leider ist sie sehr schwer zu beantworten. Man kann die Formel für die Zentripetalkraft tatsächlich herleiten, aber dafür braucht es eine Mathematik, die man in der Schule nicht lernt.
Deshalb macht man es in der Schule meist mit einem Experiment. Und wenn man dann alle Abhängigkeiten (von m, r und T) gefunden hat misst man einmal nach, wie groß F_z bei einem gemessenen m r und T ist und kann so auf diesen Vorfaktor aus dem Experiment schließen. Sagen wir, du hast F_z = 10N gemessen m=10g, r, 5cm und T=2s, dann kannst du das alles in den Ansatz
F_z = c*m*r/T²
einsetzen und der unbekannte Vorfaktor c sollte als c=4pi² herauskommen (natürlich nur näherungsweise und in Dezimaldarstellung).
Nachtrag: Die Zahlenwerte sind natürlich völlig vom Himmel, hab sie nur der Anschaulichkeit willen als konkretes Beispiel genommen, mit denen wird natürlich c nicht als 4pi² rauskommen. ;)
Wir haben die Zentripetalkraft in der Schule wie folgt hergeleitet (Oberstufe; Vektoren und Ableitungen sind bekannt):
Gleichmäßige Kreisbewegung:
x(t) = r (cos(2 pi t / T), sin(2 pi t / T))
(Zeitnullpunkt bzw. Koordinatenrichtungen geeignet gewählt)
Mit ω = 2 pi / T
x(t) = r (cos(ω t), sin(ω t))
v(t) = x'(t) (bzw. ein Punkt über dem x, wie seit Newton für Ableitungen nach der Zeit üblich)
(Bin hier an meiner Smartphone-Tastatur, hier steht der Formeleditor anscheinend nicht zur Verfügung.)
v(t) = r ω (-sin(ω t), cos(ω t))
a(t) = v'(t) = r ω^2 (-cos(ω t), -sin(ω t))
= - ω^2 x(t)
Soundsovieltes Newtonsches Gesetz:
F(t) = m a(t)
F(t) = - m r ω^2 (cos(ω t), sin(ω t))
Da diese Kraft immer dem Radiusvektor entgegengesetzt ist, ist sie eine Zentripetalkraft (die Mitte anstrebende Kraft).
Als Betrag:
F(t) = m r ω^2
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ω = 2 pi / T einsetzen:
F = m r (2 pi / T)^2
= 4 pi^2 m r / T^2
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Wie man aus Obigem durch Bildung der Vektorquadrate sieht, ist der Betrag der Geschwindigkeit
v = ω r
Umgestellt / aufgelöst nach r:
r = v / ω
Einsetzen in die Formel für die Kraft:
F = m r ω^2 = m (v/ω) ω^2
= m v ω
= m v × 2 pi / T
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Um hier was proportional v^2 / r zu erhalten, müssen wir das 2pi/T bzw. das ω wieder ersetzen:
ω = v / r
Damit
F = m v (v/r)
= m v^2 / r
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Die 2 pi kommen also vom Verhältnis Umfang zu Radius des Kreises.
Die Formeln ergeben sich auseinander durch Beziehungen wie
v = U / T = 2 pi r / T
F = m a
f = 1 / T
ω = 2 pi f
a muss die Geschwindigkeit innerhalb von T einmal herumdrehen, ebenso wie v r innerhalb von T einmal herumdreht. a ändert den Betrag von v nicht, da a und v rechtwinklig zueinander sind, wie auch v den Betrag von r nicht ändert (ebenfalls wegen des rechten Winkels zwischen v und r)
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An diesen Formeln siehst du auch, warum man ω statt f verwendet - man spart sich die Schreibarbeit für viele 2 pi und die Formeln sind etwas weniger unübersichtlich.