Zeigen Sie, dass arsinh(x) = ln (x +√x2 + 1) gilt.?

Wie auch im Titel,

Zeigen Sie, dass arsinh(x) = ln (x +√x^2 + 1) gilt.

Kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen?

Answer 1

[ProfFrink]

Die Darstellung ist nicht ganz sauber. Richtig wäre folgende Formel

$\operatorname{arsinh}\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ Das Wurzelzeichen erstreckt sich über eine Summe. Der Areasinushyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Sinus hyperbolicus. Somit gilt:

$x=\sinh\left(y\right)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$ Dieser Ausdruck braucht lediglich nach y aufgelöst zu werden

$2x=e^y-e^{-y}\ \ \ \ \ \mid\cdot e^y$ $2x\cdot e^y=\left(e^y\right)^2-1$ $\left(e^y\right)^2-2x\cdot e^y-1=0$ Es handelt sich um eine quadratische Gleichung, die mit der p-q-Formel aufgelöst werden kann. p = -2x, q = -1

$e^y=x+\sqrt{x^2+1}$ Logarithmieren führt zu

$y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung