zeige, dass es mindestens einen Punkt auf dem Äquator gibt, an dem exakt die gleiche Temperatur herrscht wie an seinem antipodalen (gegenüberliegenden) Punkt?
Hallo,
brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe wäre super nett wenn mir jemand helfen würde :-D
(a) Zu einem festen Zeitpunkt werde an jedem Punkt des Äquators die Temperatur gemessen. Man zeige, dass es mindestens einen Punkt auf dem Äquator gibt, an dem exakt die gleiche Temperatur herrscht wie an seinem antipodalen (gegenüberliegenden) Punkt.
Mathematisch: Für einen Punkt p auf dem Äquator bezeichne L ∈ [−180, 180) seinen eindeutigen Längengrad. Sei T die Funktion, die jedem L ∈ [−180, 180] die im zugehörigen Punkt p herrschende Temperatur zuordnet (dabei identifizieren wir die Längengrade L = −180 und L = 180 mit dem gleichen Punkt; es gilt also T(−180) = T(180)). Wir nehmen an, dass diese Funktion T : [−180, 180] → R stetig ist (das ist für eine Temperaturverteilung naheliegend). Man zeige: es gibt ein L0 ∈ [−180, 0] mit T(L0) = T(L0 + 180).
gruß
2 Antworten
Betrachte die Funktion g(x) = T(x) - T(x+180) wenn x in [-180, 0] und = T(x) - T(x-180) wenn x in [0, 180] (die Fallunterscheidung ist einfach nur dazu, damit g auf [-180, 180] definiert ist, wodurch die Antwort auf dem 2. Punkt "trivial" wird)
Zeige nun folgendes:
1. g ist stetig
2. Es gibt ein x, sodass g(x) >= 0 und ein y, sodass g(y) <=0 gilt.
Nutze nun einen Satz, der garantiert, dass g eine Nullstellen zwischen x und y hat.
Vielleicht nicht ganz optimal formuliert, aber als Beweisidee:
Nehme an
ansonsten würde das offensichtlich auf diese Punkte zutreffen.
Da der Äquator ein geschlossener Kreis ist, ist offensichtlich T(-180) = T(180)
Da T stetig, trifft T in [0,180[ auch sämtliche Werte zwischen T(0) und T(180), sowie auch in [-180,0[. Wird jetzt T|_[-180,0[ auf [0,180[ geschoben (um 180 nach rechts), gibt es garantiert einen Schnittpunkt.