Wurzeln mit Sonderfällen?
Wurzeln mit Sonderfällen
Kann mir daß mal einer übersetzen was ab Vorbemerkung da steht??? Ich verstehe nix.
1 Antwort
Hallo,
es geht grundsätzlich darum, daß der Ausdruck n.√a^m auch als Potenz geschrieben werden kann:
a^(m/n).
Der Grad der Wurzel ist also der Nenner des Exponenten, die Potenz der Zahl unter der Wurzel ist der Zähler.
Die 3. Wurzel aus 7^4 zum Beispiel kann auch als 7^(4/3) geschrieben werden.
Dabei muß allerdings einiges beachtet werden.
n darf zum Beispiel nicht gleich Null sein, sonst würdest Du im Exponenten durch 0 teilen, was zu einem nicht definierten Ergebnis führt.
Das wäre das Gleiche, als würdest Du aus einer Zahl die nullte Wurzel ziehen.
Wenn Du das versuchst, spuckt der Taschenrechner eine Fehlermeldung aus.
Es erhebt sich daher die Frage, wie a, m und n beschaffen sein müssen, damit gilt:
n. Wurzel (a^m)=a^(m/n).
So gilt zum Beispiel grundsätzlich, daß das Wurzelzeichen nur für positive Wurzeln aus positiven Zahlen definiert ist, obwohl Du aus negativen Zahlen theoretisch zumindest ungerade Wurzeln ohne Probleme ziehen könntest.
Zum Beispiel ist (-2)^3=-8. Somit könnte man sagen, daß die dritte Wurzel aus -8 eben -2 ist. Für diesen Fall ist das Wurzelzeichen aber nicht definiert.
Beim Fall 3. Wurzel (-8) sind die meistenTaschenrechner allerdings nicht pingelig und spucken als Ergebnis (-2) aus.
Das ist aber eigentlich nicht korrekt.
Deswegen wird a in der Vorbemerkung auf den Bereich R+, also auf die nichtnegativen Zahlen eingeschränkt.
Eine Ausnahme besteht dann, wenn unter dem Wurzelzeichen eine gerade Potenz von a steht wie zum Beispiel a^2, a^4, a^6 usw.
Wenn a jetzt negativ ist, wird die Potenz, weil sie gerade ist und weil sich beim Multiplizieren zwei Minuszeichen aufheben, positiv, auch wenn a negativ ist.
(-2)^4=16 - und aus 16 kannst Du alle möglichen Wurzeln ziehen.
Hier mußt Du allerdings aufpassen:
Wurzel ((-2)^4)=Wurzel (16)=4.
Wenn Du das aber rückgängig machst, kommt das heraus:
4^2=16 (bis hierher stimmt noch alles).
4.Wurzel aus 16 ist 2. Vorher stand aber (-2) unter der Wurzel.
Deswegen werden in diesem Fall Betragsstriche gesetzt:
Wurzel |-2|^4=Wurzel (16)=4
4^2=16.
4.Wurzel aus 16=2.
Da der Betrag von -2 die positive Zahl 2 ist, stimmt diesmal alles.
a darf also, wenn n eine gerade Zahl ist, aus dem ganzen Bereich der reellen Zahlen stammen, sofern Du a unter der Wurzel in Betragsstriche setzt.
Bei ungeraden Wurzel funktioniert das nicht, weil die ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl auf jeden Fall auch negativ wäre - und eine negative Wurzel ist per Definition ausgeschlossen.
Wenn Du dagegen quadratische Gleichungen löst, was auch durch Wurzelziehen geschieht, darf man die Lösung nicht auf die eigentliche (positive) Wurzel reduzieren, sondern muß auch die negative Lösung berücksichtigen. Da das Wurzelzeichen ausschließlich positive Wurzeln zuläßt, schreibt man in diesem Fall einfach ein zusätzliches Minuszeichen vor die Wurzel.
Beispiel:
x²=4
x=±√4=2 oder -2.
Die Wurzel selbst spuckt zwar nur 2 als Lösung aus, das Minus vor der Wurzel allerdings läßt dann auch die zweite Lösung der Gleichung zu, denn auch (-2)^2=4.
n, der Grad der Wurzel, darf auch negativ sein.
Dann gilt das Potenzgesetz a^(-m)=1/a^m.
3^(-2)=1/3^2=1/9.
Wenn n also kleiner als Null ist, wenn eine negative Wurzel gezogen wird,
wandert die Wurzel in den Nenner und der negative Grad der Wurzel wird positiv.
n. Wurzel aus a^m kann man deswegen auch als 1/a^(m/n) schreiben, wenn n eine negative Zahl ist.
Genauso wie die negative Potenz einer Zahl der Kehrwert der positiven Potenz der Zahl ist, gilt dies auch für Wurzeln, die man ja auch als Potenzen auffassen kann.
Herzliche Grüße,
Willy
Ein absoluter Experte in Sachen Mathematik und freundlich dazu.
Ich kann mich nur bedanken.