WS ist der unterschied zwischen Termumformung und Äquivalenz Umformung?
4 Antworten
Oft versteht man unter Term einen Ausdruck, der bei Ersetzung der Variablen durch Zahlen wieder eine Zahl ergibt (innerhalb seines Definitionsbereichs). Aber man kann auch Aussageformen als Terme bezeichnen.
Der Einfachheit halber fasse ich auch Aussageformen als Terme auf.
Dann ist "Termumformung" ein Oberbegriff von "Äquivalenzumformung". D. h. jede Äquivalenzumformung ist auch eine Termumformung, aber nicht notwendigerweise umgekehrt.
Und tatsächlich gibt es Termumformungen, die keine Äquivalenzumformungen sind. Allen voran solche, bei denen eine Division durch 0 eingeführt oder herausgenommen wird.
Z. B. können wir
erweitern zu
woei x irgendeine reelle Zahl sein soll.
Allerdings ist für x = 0 der zweite Term nicht definiert, der erste aber sehr wohl. Also sind diese Terme nicht für alle x äquivalent; die Erweiterung ist also keine Äquivalenzumformung.
Ähnlich bei Gleichungen:
x - 1 = 0
hat die einzige Lösung x = 0.
Multiplizieren wir beide Seiten mit x+1, erhalten wir
(x - 1) (x + 1) = 0 (x + 1)
und durch Ausmultiplizieren
x² - 1 = 0
(Ausmultiplizieren und Ausklammern sind Äquivalenzumformungen, weil es hier keinerlei Einschränkungen der Werte gibt, für die diese Operation zulässig ist.)
Aber diese Gleichung hat 2 Lösungen:
x = 1 ODER x = -1
Hier hat sich die Lösung x = -1 von der Seite hereingeschlichen.
Um wirklich eine Äquivalenzumformung zu erhalten, müssen wir ausschließen, dass mit 0 multipliziert wird. (Im allgemeinen Fall auch, dass durch 0 geteilt wird.)
Damit ist eine Äquivalenzumformung von
x - 1 = 0
(x - 1) (x + 1) = 0 (x + 1) UND x ≠ -1
(Dabei muss man streng genommen noch sicherstellen, dass sich die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung dadurch nicht ändert, in diesem Fall, dass x = -1 keine Lösung der Ausgangsgleichung ist.)
x - 1 = 0
ist also eine äquivalente Aussageform ("wahrheitswertiger Term") zu
(x - 1) (x + 1) = 0 UND x ≠ -1
Bei Äquivalenzumformungen werden Gleichungen umgeformt.
Bei Termumformungen werden Terme umgeformt
Anmerkung:
Falls du die Begriffe Term und Gleichung nicht unterscheiden kannst, am Gleichheitszeichen erkennst du den Unterschied:
► Gleichungen enthalten IMMER ein Gleichheitszeichen,
► Terme enthalten NIE ein Gleichheitszeichen.
Eine Gleichung besteht IMMER aus 3 Teilen:
2 Terme und dazwischen ein Gleichheitszeichen.
Termumformungen sind Umformungen eines Terms.
Äquivalenzumformungen sind Umformungen einer Gleichung, bei denen die Lösungsmenge unverändert bleibt.
Also können Termumformungen die Terme vereinfachen?