Woran erkenne ich am Graph, welche Punkte als offenes oder geschlossenes Intervall dargestellt werden?
Quelle: Intervallschreibweise
https://www.youtube.com/watch?v=yxehLH4caV4
Das ist soweit verständlich, nur...
beispielsweise im Falle:
-unendlich ; 2,5 / 2,5 ; 4 / 4 ; +unendlich (2,5 könnte ein Hochpunkt sein und 4 ein Tiefpunkt) (Klammern sind bewusst weggelassen), denn woher weiss ich welcher Wert nun mit welcher Klammer ( "[" oder "]" ) dargestellt werden muss?
Welcher Punkt ist offen, welcher nicht?
Danke für eure Hilfe
1 Antwort
Anmerkung: In der Literatur werden oft auch runde Klammern verwendet, um darzustellen, dass ein Punkt nicht mehr zum Intervall dazugehört. Vorteil: die Klammern sind immer "richtig" herum. Nachteil: man kann nicht mehr auf den ersten Blick sehen, ob ein offenes Intervall oder ein geordnetes Paar gemeint ist.
Welche Klammer man nimmt, hängt davon ab, ob der betreffende Punkt zur Menge dazugehören soll oder nicht.
Wenn wir uns auf die Menge der Reellen Zahlen beschränken, gehören -unendlich und +unendlich natürlich nicht dazu; sie sind in diesem Zusammenhang Symbole, die selbst keine Zahlen darstellen, aber das Aufschreiben erleichtern.
Da -unendlich und +unendlich nie zu einem reellen Intervall dazugehören, kommt hier immer die Klammer für "an dieser Seite offen" hin, also die nach außen geöffnete eckige Klammer oder die runde Klammer:
]-unendlich; +unendlich[
]-unendlich; 2,5[ -- hier gehört 2,5 selbst NICHT dazu
]-unendlich; 2,5] -- hier gehört 2,5 selbst dazu
]2,5; unendlich[ -- hier gehört 2,5 selbst NICHT dazu
[2,5; unendlich[ -- hier gehört 2,5 selbst dazu
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Interessant wird es eher bei Definitionsbereichen von Funktionen:
f(x) = 1/x ist definiert auf den Intervallen
]-unendlich; 0[ und ]0; unendlich[
also (beidseitig) offenen Intervallen.
g(x) = Wurzel(x) ist definiert auf dem Intervall
[0, unendlich[
also dem halboffenen (in diesem Fall rechtsseitig offenen) Intervall.
h(x) = Wurzel(1 - x^2) ist definiert auf dem (ab)geschlossenen Intervall
[-1; 1]
k(x) = wurzel(x^2 - 1) ist definiert auf den Intervallen
]-unendlich; -1] und [1; unendlich[
Tut mir leid, das verstehe ich nicht -- was meinst du mit "ein Punkt endet oder beginnt"? Und wo ist ein Punkt ohne Ende? Insbesondere bei einer Parabel?
Im Falle der von dir beschriebenen Funktion h(x), habe ich einen Graphen angezeigt, welcher bei (xKoordinate) -1 beginnt und bei +1 endet.
Bei einem Graphen wie beispielsweise f(x)= x²-1 bekommt man eine Parabel welche aus dem unendlichen Bereich kommt und in einen unendlichen Bereich weiter läuft: also kein Anfang und kein Ende hat.
demzufolge war meine Schlussfolgerung:
- Ist ein Anfang und/oder Ende gegeben, wird dieser Bereich oder xWert als abgeschlossener Teil des Intervalls beschrieben: [-1;1]
- Ist kein Anfang und Ende gegeben, sondern Unendlichkeit, wird dieser Bereich oder xWert als offener Teil des Intervalls beschrieben: ]-unendlich; -1] und [1; unendlich[
war mein Gedankengang verständlicher beschrieben? Kann ich das so stehen lassen, stimmt das so? Andernfalls könnte ich nur verstehen, dass unendlichkeiten immer offen als Intervall beschrieben sind... Was dennRest angeht wäre mir die Klammersetzung ein Rätsel.
Ich bin immer noch nicht sicher, ob du das verstanden hast. Es geht darum, ob Anfang und/oder Ende dazugehören.
Bei
m(x) = 1 / Wurzel(1 - x^2)
ist der Definitionsbereich das (beidseitig) offene Intervall
]-1; 1[
weil der Funktionswert an den Grenzen gegen unendlich geht.
ok.. dann ist meine Schlussfolgerung nicht richtig. Ich wäre jetzt davon ausgegangen, wie bei h(x) wäre die antwort: [-1 ; 1]
...weil der Graph bei -1 beginnt und 1 endet.. hmm... wie du sagst geht es also nicht ausschliesslich um den anfang oder das ende, sondern, ob anfang und ende "dazu gehören"
was meinst du denn mit dazugehören?
erstmal vielen Dank für die Arbeit und den umfangreichen/verständlichen Content!
Um sicher zu gehen (nachdem ich alle Beispielfunktionen im Taschenrechner habe anzeigen lassen), stimmt es also:
Wenn ein Punkt (xWert) endet oder beginnt, ist er automatisch ein abgeschlossener Teil des Intervalls [gut zu sehen bei h(x) ]. Ist der Punkt aber ohne Ende (bspw. bei einer Parabel) kann kein Punkt abgeschlossen sein, somit markiert durch einen offenen Teil des Intervalls.