Wieso "erste", "zweite" und "dritte" binomische Formel?
Das habe ich noch nie verstanden, wieso es 3 (anscheinend) unterschiedliche binomische Formeln gibt. Alles was man braucht ist :
(a+b)² = a²+2ab+b²
Die "zweite" binomische Formel sagt jetzt, was passiert wenn b eine negative Zahl ist, aber das folgt doch direkt aus der ersten?? Nehmen wir mal a=2 und b=-2 als Beispiel:
(2+(-2))² = (2)² + 2(2)(-2) + (-2)²
= 2² - 8 + 2²
Man kann also schon direkt über die "erste" binomische Formel direkt die "zweite" folgern, also ist die zweite meines Erachtens unnötig. Das hat mich schon damals als Kind extrem verwirrt, weil ich dachte das wären zwei komplett unterschiedliche Fälle, aber es ist ein und dasselbe. Im englischen gibt es dieses "erste", "zweite" und "dritte" nicht, also was ist der Sinn dahinter?
5 Antworten
Man braucht gar keine der drei Formeln.
Sie sind Abkürzungen, die das Ausmultiplizieren durch Auswendiggelerntes ersetzen.
Die "Nummerierung" dient dazu, sich leichter darauf beziehen zu können.
Die "zweite" binomische Formel sagt jetzt, was passiert wenn b eine negative Zahl ist,
Vorsicht! b kann negativ sein und die Aufgabe kann immer noch lauten (a+b)².
Wie gesagt: es sind Abkürzungen bei denen man so wenig wie möglich denken müssen soll. Gerade bei komplexeren Ausdrücken ist es schon hilfreich, sich über das Vorzeichen nicht "extra" Gedanken machen zu müssen, sondern einfach die 2. Formel anzuwenden.
Aber ja, du hast recht: man brauchte keine davon.
Wenn man so an die Sache herangeht, werden alle Formeln überhaupt sinnlos, da man aus den absoluten Grundregeln der Mathematik (1+1=2) alles andere herleiten kann. Könnte man das nicht, wären die Formeln falsch. Allgemein sind Formeln also nur die Grundregeln, die auf spezifischere Situationen angewendet werden, um Zeit und Rechnen zu ersparen. Wieweit diese Spezifizierung nötig oder sinnvoll ist, hängt vom Rechnenden und der Aufgabe ab.
Technisch gesehen sind alle binomischen Formeln überflüssig, da sie alle auf das Distributivgesetz zurückgeführt werden können. Es hat sich einfach als nützlich herausgestellt, diese Gleichungen auswendig zu kennen, weil sie häufig auftreten und man sie im Eifer des Gefechts schneller erkennt.
Die 3 Binomischen Formeln dienen einfach nur als Hilfestellung, um sich Rechenschritte zu ersparen.
Und genau diesen Zweck erfüllen sie.
Wenn man sich immer alles SELBST herleiten möchte, dann kann man alle 3 Formeln komplett ignorieren.
Aber für viele Schüler, denen Mathe nicht so leicht fällt wie dir, sind diese 3 Binomischen Formeln ein Hilfestellung.
Natürlich hast du recht. Man kann alle drei durch Ausmultiplizieren und anschließendes Wegkürzen aus der ersten ableiten.
Aber unsere Schüler brauchen was zum Auswendig lernen. Also gibt man ihnen drei Formeln zum Büffeln.
Die etwas schlaueren unter ihnen merken dann irgendwann mal, daß es auch einfacher geht. So wie du halt.