Binomische Formeln mit 3 Summanden,
Hallo Leute, bin gerade dabei mein Mathe-Grundwissen aufzufrischen und bin jetzt auf eine banale Frage bei den Binomischen Formeln gestoßen:
also die erste binomische Formel lautet ja: (a+b)² = a²+2ab+b²
wie kann ich vorgehen, wenn ich 3 Summanden in einer Klammer stehen habe und diese als binomische Formel angeben soll:
Bsp: (0,4x + x² +1)²
in der Ursprungsformel sind doch nur 2 Summanden gegeben a und b? Wie wird die 1 behandelt?
Danke ;)
6 Antworten
Du könntest hier in einer Art gestuften binomischen Formel vorgehen.
Dein Beispiel (0,4x + x² +1)² könntest du zB so angehen, wenn du binomische Formeln anwenden möchtest:
(0,4x + x² +1)²= [(0,4x + x²) +1)]² | (erstes Mal binF)
= (0.4x + x²)² + 2(0.4x + x²)1 +1² | (Klammern auflösen und zweites mal binF)
= 0.16x² + 0.8x³ +x^4 +0.8x + 2x² +1 |(sortieren)
=x^4 +0.8x³ + 2.16x² +0,8x +1
Alternativ könntest du auch rechnen: (0,4x + x² +1)*(0,4x + x² +1)
= 0.16x² +0.4x³ +0,4x + 0,4x³ +x^4 +x² +0,4x +x² +1
= x^4+0,4x³+0,4x³+0,16 x²+x²+x²+0,4x +0,4x+1
= x^4 +0,8x³+2,16x²+0,8x+1
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(0,4x + x² +1)² kannst du nicht als binomische Formel angeben, da es keine binomische Formel ist.
Wenn du aber sowas wie (9 + 6x + x²) hast, dann teilst du den Vorfaktor von x durch zwei. In dem Fall würde dann drei rauskommen. Dann ziehst du die Wurzel aus der Zahl ohne x beziehungsweise ohne x² , in dem Fall also die 9. Hier bekommst du auch 3 als Ergebnis. Wenn du also zweimal bei den oben beschriebenen Schritten die gleiche Zahl rausbekommst, dann ist die Formel eine binomische Formel und lässt sich alternativ so angeben: (x+3)²
Mit der zweiten und dritten binom. Fomrel verfährt man analog.
Allgemein musst du bei (0,4x + x² +1)² einfach (0,4x + x² +1) mit (0,4x + x² +1) multiplizieren.
Also jeden Summanden der Ersten Klammer mit jedem Summanden der Zweiten Klammer, also so:
(0,4x * 0,4x) + (0,4x * x²) + (0,4x * 1) + (x² * 0,4x) + (x² * x²) + (x² * 1) + (1 * 0,4x) + (1 * x²) + (1 * 1). Das kannste dann noch zusammenfassen wenn du willst ...
Eine richtige Formel wie bei den Binomischen Formeln gibt es leider nicht, hier musst du selber multiplizieren (aber falls du mal etwas mit (a+b)³ hast, dafür gibts dann die sogenannten "Trinomischen Formeln").
Die "binomische Formel" für drei Summanden kannst du dir selber herleiten:
( a + b + c ) ²
= ( ( a + b ) + c ) ²
= ( a + b ) ² + 2 * ( a + b ) * c + c ²
= a ² + 2 a b + b ² + 2 a c + 2 b c + c ²
= a ² + b ² + c ² + 2 * ( a b + a c + b c )
Setzt man hierin c = 0, dann erhält man wieder die bekannte binomische Formel:
( a + b + 0 ) ² = a ² + b ² + 0 ² + 2 * ( a b + 0 + 0 ) = a ² + 2 a b + b ² = ( a + b ) ²
..habe mich glaube ich falsch ausgedrückt, ich meinte einfach die Klammer aufzulösen und die einzelnen Summanden zu erhalten....