Wie zerlege ich ein Polynom in Linearfaktoren über C?

Weiß jemand wie man dies lösen kann?

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

im vorliegenden Fall kannst Du es Dir auch einfacher machen ohne Nullstellensuche und pq-Formel.

Hast Du ein Polynom x²+px+q, kannst Du es folgendermaßen in das Produkt
(x+a)*(x+b) umwandeln. Du suchst zwei Zahlen a und b, so daß gilt:
a+b=p und a*b=q.

p ist hier praktischerweise schon eine Summe, nämlich 1+i.

Da 1*i=i=q ist, bist Du schon fertig. a=1 und b=i, also (x+1)*(x+i).

Klappt natürlich nicht immer so schön, ist aber einen Versuch wert.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 2

[mihisu]

Berechne die Nullstellen.

Wenn x₁, x₂, ..., xₘ die Nullstellen des Polynoms p(x) sind, und wenn vₖ jeweils die Vielfachheit der Nullstelle xₖ des Polynoms p(x) ist, so erhält man für die Linearfaktorzerlegung des Polynoms p(x)...

$p(x)=a_n\cdot\left(x-x_1\right)^{v_1}\cdot \left(x-x_2\right)^{v_2}\cdot \ldots\cdot \left(x-x_m\right)^{v_m}$

Dabei ist aₙ der Leitkoeffizient (Koeffizient vor der höchsten Potenz der Variablen) des Polynoms.

===============

Im konkreten Fall hast du ein normiertes Polynom (Leitkoeffizient 1) zweiten Grades. Die Linearfaktorzerlegung ist dann von der Form

$p(x)=(x-x_1)\cdot (x-x_2)$

mit den beiden Nullstellen x₁, x₂.

Bzw. wenn die beiden Nullstellen zu einer doppelten Nullstelle zusammenfallen würden, was hier jedoch nicht der Fall ist, hätte die Linearfaktorzerlegung die Form

$p(x)=\left(x-x_{1,2}\right)^{2}$

=======Ergänzung:=======

Lösungsvorschlag zum Vergleich:

Answer 3

[Maxi170703]

Wie auch in R. Nullstellen berechnen und dann x minus die Nullstelle. Die Nullstellen können in C dann eben auch einen Imaginärteil haben. Nullstellen berechnen über die Pq-Formel.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Maschinenbaustudent, RWTH Aachen

Comments

[Willy1729]

Zur Kontrolle: p(x)=(x+1)*(x+i). Bei Anwendung der pq-Formel mußt Du allerdings wissen, wie man Wurzeln aus komplexen Zahlen zieht.