Wie wende ich hier den Mittelwertsatz an?
Ich betrachte hier diesen Differenzenquotienten mit J_ɛ(x) = ɛ^(-n) J(ɛ^(-1) x), ɛ >0. J ist der Mollifier.
Das mag jetzt ne dumme Frage sein, aber mir ist grad nicht ganz klar, wieso der Differenzenquotient uniform in h fuer h nach 0 beschraenkt ist. Liegt doch am Mittelwersatz, glaub ich, weil der dann nach oben abgeschaetzt werden kann durch (die partielle Ableitung in x_j im Punkt x0) * h, wo x0 auf der Geraden zwischen x-y und x-y+he_j ist?
Ich hoffe, dass ist nicht zu schwammig formuliert. Vielen Dank fuer die Hilfe im Voraus!
Da bin ich mir unsicher, bei 5.45.
1 Antwort
Vielleicht denke ich zu einfach, aber, partielle Differenzierbarkeit vorausgesetzt, existiert der Limes für jede Folge von h gegen 0, daraus folgt die Beschränktheit.
Ohne irgendwelche Voraussetzungen wirst du die Beschränktheit nicht begründen können, vielleicht hat J eine spezielle Form oder was auch immer
Jep unendlich oft stetig differenzierbar mit kompaktem Traeger.
Dann weiss ich nicht, warum man das beim Differenzenquotienten nicht verwenden sollte.
Sorry, ich glaub ich habe mich unklar ausgedrückt. Habe den Beitrag ergänzt.
Danke für die Ergänzung. Insofern lagst du mit deiner Vermutung richtig. Die gleichmässige Beschränktheit kommt daher, dass auch die Ableitung stetig auf einem kompakten Träger ist, dort also ihr Maximum annimmt. Das wird übrigens auch in (5.44) verwendet.
Meinst du wir betrachten die partielle Ableitung von J_ɛ nach x_j, diese ist stetig und nimmt auf ||x|| <= ɛ ihr Max an? Ausserhalb ist die 0.
stimmt, wobei wegen dem MWS die h's sich kuerzen oder, also wie oben geschildert.
partielle Differenzierbarkeit wird erst danach begruendet.