Wie stelle ich eine Parabelgleichung auf, wenn ich Brennpunkt und Leitgerade gegeben habe?
Hallo,
leider hänge ich schon seit längerem an dieser Frage und bin auch durch stundenlanges googlen nicht auf eine allgemeine Vorgehensweise gekommen. Kann mir jemand an irgendeinem Beispiel erklären wie ich die Parabelgleichung aufstelle wenn ich den Brennpunkt und die Leitgerade gegeben habe? Ich weiß, dass jeder Punkt der Parabel den gleichen Abstand zu F wie zu g haben muss, jedoch scheitere ich immer wieder.
Ein Beispiel wäre zB: Stelle die Parabelgleichung auf bei F=(7/10) und g=-7
Ich danke für jede Hilfe!
3 Antworten
ich denke mal so:
Mitte zwischen 10 und -7 ist 1,5
also liegt der Scheitelpunkt der gesuchten Parabel bei S(7 ; 1,5)
jetzt brauchen wir noch das a bei
y = a•(x-7)² + 1,5
a = 1/(2•f) Brennpunkt F(f ; 10) also f=7
dann haben wir
a = 1/(2•7) = 1/34
also ist die gesuchte Parabel
y = 1/34 • (x - 7)² + 1,5
als Probe kannst du dir Punkte der Parabel nehmen und gucken, ob sie den gleichen Abstand zum Brennpunkt wie zur Leilinie haben.
vielen dank schonmal, eine frage habe ich jedoch noch, stimmt diese formel a=1/(2*f) immer? und wieso ist 1/(2*7) gleich 1/34?
Dankeschön!
du kannst trotzdem schon mal die probe machen; ich bin auf die 1/34 nicht mit der formel, sondern mit abstandsrechnung gekommen.
Einen Brennpunkt (Fokus) hat man bei einer Ellipse, was hat das mit einer Parabel zu tun und was soll die Leitgerade sein? Habe ich noch nie bei Quadr. Funktionen gehört.
wir fangen noch einmal an bei :
y=a(x-7)²+1,5 und F(7;10) und g: y=-7
wähle einen punkt auf der parabel; zB P= (0 ; 49a+1,5)
jetzt gilt ja IPFI = IPgI
wobei IPgI = 49a+1,5+7 = 49a+8,5 ist
und IPFI = wurzel ( (0-7)² + (49a+1,5-10)² ) ist.
also
wurzel ( (0-7)² + (49a-8,5)² ) = 49a+8,5
jetzt quadrieren
(0-7)² + (49a - 8,5)² = (49a+8,5)²
nach klammer auflösen mit binom hebt sich einiges auf; es bleibt:
49 - 2•49a•8,5 = 2•49a•8,5 jetzt a berechnen
a = 1/(4•8,5) = 1/34
also parabel
y = 1/34 • (x-7)² + 1,5
jetzt probe mit weiterem punkt der parabel.
bleibt die Frage, ob die formel a = 1/(4•(fy-sy)) = 1/(4•(10-1,5)) = 1/(4•8,5)=1/34
gültig ist. (fy=y-wert vom brennpunkt und sy=y-wert vom scheitelpunkt)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sqrt((1-7)%C2%B2%2B(2+19%2F34-10)%C2%B2)
hiermit lässt sich schnell die probe machen;
zB P(1 ; 2 19/34) abstand zu F(7;10) muss dann 2 19/34 + 7 ergeben.
da hast du recht.