Schnittpunkt Gerade und Parabel?
Hallo ihr Lieben,
könntet ihr mir bei dieser Aufgabe bitte mal helfen:
Die Parabel par: y^2 = 8x und die Gerade g: –2x + 2y = 3 haben die Schnittpunkte S_1und S_2.
1)Berechne die Länge der entstehenden Parabelsehne S_1 und S_2 !
2) Unter welchem Winkel erscheint die Sehne S_1 und S_2 vom Scheitel der Parabel aus?
3) Unter welchem Winkel erscheint die Sehne S_1 und S_2 vom Brennpunkt der Parabel aus?
4) Wie groß ist der Abstand des Brennpunktes von der Sehne S_1 und S_2 ?
Für 1) hätte ich g nach y umgeformt, also y=3/2+x und dann diesen Term in y^2 eingesetzt -> (3/2+x)^2=8x ->x_1/2=6,5 bzw. -1,5 -> S_1=(6,5|8), S_2=(-1,5|0). Ist das soweit richtig?
Wie berechne ich die Länge der Parabelsehne? Und wie die anderen Aufgaben?
Vielen Dank vorab!
Liebe Grüße
2 Antworten
So sieht das im Koordinatensystem aus:
1)
Umwandlung der Gleichungen:
Parabel:
aus y^2 = 8x folgt:
par: y = √8x
Gerade:
aus -2x + 2y = 3 folgt:
g: y = (3 + 2x)/2
Schneiden der beiden Graphen:
es gilt: y = y, daraus folgt:
√8x = (3 + 2x)/2
8x = (3 + 2x)^2 / 4
32x = 9 + 12x + 4x^2
4x^2 - 20x + 9 = 0
x^2 - 5x + 9/4 = 0
y_s1 = (3 + 2*0,5)/2 = 2
S1(0,5/2)
y_s2 = (3 + 2*4,5)/2 = 6
S2(4,5/6)
Berechnung der Sehnenlänge l:
Die alte Frau Pythagoras sagt:
l^2 = ∆x^2 + ∆y^2 = 4^2 + 4^2 = 32
l = √32 = 4√2 = 5,66
Die Länge der Sehne berechnest du, indem du zunächst
S_1 und S_2 ermittelst und dann mit dem Pythagoras
die Länge berechnest.
S_1 und S_2 sind falsch, weil beide Punkte nicht auf der Parabel liegen.