Wie sind die Nullstellen von f(x)= x* ln (x) -x?
Hallo, ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe. Aufgrund des Produktes müsste ja entweder x=0 oder ln(x)-x=0 gelten. Dann wäre meine erste Nullstelle ja bei 0 aber die zweite?
5 Antworten
Du hast ja 0 = x*ln(x) - x
Dann kannst du rechts ein x ausklammern und erhältst 0 = x*(ln(x) - 1)
ein Produkt ist 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
Also ist entweder x = 0 oder ln(x) - 1 = 0
Okay, eine Nullstelle haben wir mit x = 0, nämlich 0.
Jetzt müssen wir noch die zweite Gleichung analysieren.
ln(x) - 1 = 0
<=>ln(x) = 1
<=>e^ln(x) = e^1
<=> x = e
Damit haben wir die Nullstellen x_1 = 0 und x_2 = e
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR
Bevor man sich über die Nullstellen hermacht, müsste doch erst einmal geklärt werden, wie die Funktion gemeint ist. Der Interpretation zufolge, die der FS vorführt, ist die Beklammerung
f(x) = x * (ln (x) - x)
Das widerspricht allerdings den Regeln, die unterstellen würden:
f(x) = (x * (ln (x)) - x
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D+x*+ln+%28x%29+-x
Du liegst ja schon ganz richtig mit der ersten Nullstelle, dann ist Dir aber ein kleiner Fehler unterlaufen beim Ausklammern :
x*(lnx - x) = xlnx - x² !!!!!
Vergleich zeigt Dir das richtige Produkt x*(lnx - 1)
Und jetzt findest Du bestimmt ganz einfach auch die zweite Nullstelle .
Gruß Polynomo
x ln(x) - x = 0
x ln(x) = x
ln(x) = 1
x = e.
Warum ist nach Ausklammern x(ln(x) - 1) = 0 -> x = 0 keine Nullstelle?
Weil die Funktion dort eine Definitionslücke hat, ganz einfach. Somit ist x = e die einzige Nullstelle. Trotzdem ist diese Definitionslücke behebbar, da nach L'Hospital der Grenzwert von x ln(x) nach x -> 0 einfach 0 ist. Es ist also eine hebbare Lücke, die eine Nullstelle WÄRE, wenn die Funktion dort definiert WÄRE.
LG
P.S.: Natürlich kannst du keine Klammern setzen, damit ist diese Antwort umsonst -.-