Wie rechne ich diese Wahrscheinlichkeit aus (Stochastik)?
Ich habe drei Würfel (das erste Bild ist die Aufgabe, Aufgabe 4.), aber überhaupt keine Ahnung wie ich das ausrechnen soll.
So eine ähnliche Aufgabe haben wir schonmal gemacht (Bild zwei), in der ich auch wüsste wie ich vorzugehen habe.
Aber dadurch dass ich jetzt keine 36, sondern 216 Ereignisse habe, habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich das auf das Blatt kriegen soll.
2 Antworten
Die Zufallsvariable: Du sollst hier den Erwartungswert der Zufallsvariable G berechnen, die den Gewinn von Spieler A angibt. Die Zufallsvariable G ordnet also jedem moeglichen Ereignis den Gewinn von Spieler A zu:
- G(keine Sechs gewuerfelt) = 1
- G(eine Sechs gewuerfelt) = -1
- G(zwei Sechsen gewuerfelt) = -2
- G(drei Sechsen gewuerfelt) = -3
Erwartungswert: Der Erwartungswert von G, geschrieben E[G], ist definiert als folgende Summe (ich schreibe abkuerzend z.B. "2x6" fuer "zwei Sechsen gewuerfelt" usw.):
E[G] = P(0x6) * G(0x6) + P(1x6) * G(1x6) + P(2x6) * G(2x6) + P(3x6) * G(3x6)
Man bildet hier so eine Art Durchschnittswert, bei dem die einzelnen Gewinne aber nicht alle gleich stark mit reinzaehlen, sondern wahrscheinliche Ausgaenge mehr Gewicht bekommen als unwahrscheinliche - daher multipliziert man die Gewinne eben mit ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeit.
Um E[G] zu bestimmen, musst Du nun also die Wahrscheinlichkeiten P(0x6), P(1x6), P(2x6) und P(3x6) bestimmen. Es handelt sich um eine Binomialverteilung.
Einschub zur Binomialverteilung: Die Wahrscheinlichkeit fuer genau k Treffer bei n Durchfuehrungen (also k zwischen 0 und n) und Trefferwahrscheinlichkeit p wird mit B(k | p, n) bezeichnet und berechnet sich so:
B(k | p, n) = (n ueber k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Bei Dir ist die Trefferwahrscheinlichkeit, d.h. die Wahrscheinlichkeit dafuer eine Sechs zu wuerfeln, eben p=1/6. Da Du mit drei Wuerfeln spielst, fuehrst Du das Wuerfelexperiment dreimal aus, also n=3. Also hast Du:
P(kx6) = B(k | 1/6, 3)
Wahrscheinlichkeitsverteilung: Damit kannst Du die Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen:
- P(0x6) = (3 ueber 0) * (1/6)^0 * (5/6)^3 = 125/216
- P(1x6) = ... = 75/216
- P(2x6) = ... = 15/216
- P(3x6) = ... = 1/216
Plausibilitaets-Check: An dieser Stelle sollte man sich immer nochmal anschauen, ob die Ergebnisse plausibel sind - das beugt Rechenfehlern vor! Die Summe aller dieser Wahrscheinlichkeiten betraegt 125/216 + 75/216 + 15/216 + 1/216 = 1. Genau so muss es ja auch sein, denn irgendeine Anzahl von Sechsen wuerfelt man ja auf jeden Fall.
Insgesamt gibt es 6*6*6=216 moegliche Wuerfe - bei genau einem davon handelt es sich um drei Sechsen. Die Wahrscheinlichkeit dafuer sollte also 1/216 sein.
Ergebnis: Jetzt musst Du nur noch einsetzen:
E[G] = 125/216 * 1 + 75/216 * (-1) + 15/216 * (-2) + 1/216 * (-3) = 17/216
Hier siehst Du nochmals die oben angesprochene Gewichtung: Der Fall, dass keine Sechs gewuerfelt wird, zaehlt 125-mal so viel wie der Fall, dass drei Sechsen gewuerfelt werden, weil er eben 125-mal so wahrscheinlich ist. Wir stellen also fest, dass Spieler A langfristig, d.h. wenn das Spiel sehr oft gespielt wird, mit Gewinn rechnen kann, naemlich mit 17/216 EUR (also etwa 7,87 Cent) pro Spiel.
Kleiner Zusatz: Das Spiel waere z.B. fair, wenn Spieler B bei drei Sechsen 20 Euro gewinnen wuerde, denn dann waere E[G] = 0.
Klar, am Ende musst Du selbst entscheiden, was Dir wichtig ist. Wenn Du aber nichtmal verstehst, was ein Binomialkoeffizient ist, hast Du es nicht versucht :D
Jedenfalls klingt es für mich so, als hättest Du eine laxe Einstellung gegenüber dem Lernen. Es wäre ja gemein, wenn man Schülern nicht mit Nachdruck erklären würde, dass sie sich einen Vorteil verschaffen können, wenn sie sich mehr reinhängen als andere.
Warum sollte es so sein, dass man nicht alles schaffen kann? Jedes Jahr haben viele Schüler nirgendwo eine schlechtere Bewertung als “befriedigend” – das geht schon :D
Man kann ueber seine Defizite lachen und sich mit ihnen identifizieren oder aber schlauer werden, indem man was dagegen tut - die Einstellung entscheidet darueber, ob Du spaeter vorne oder hinten im Taxi sitzt :D
Zur Binomialverteilung siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung. Ich habe die Formel angegeben, aber natuerlich kann man auch durch Ueberlegen drauf kommen:
- Die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass keiner der Wuerfel eine Sechs zeigt, ist 5/6 * 5/6 * 5/6 = 125/216.
- Die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass der erste Wuerfel eine Sechs zeigt und die beiden anderen nicht, ist 1/6 * 5/6 * 5/6 = 25/216. Genauso hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass der zweite Wuerfel eine Sechs zeigt und die beiden anderen nicht oder dass eben der dritte Wuerfel eine Sechs zeigt und die beiden anderen nicht. In jedem dieser drei verschiedenen Faelle hat man ja genau eine Sechs, also betraegt die Wahrscheinlichkeit fuer genau eine Sechs 3 * 25/216 = 75/216.
- Die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass die ersten beiden Wuerfel eine Sechs zeigen, ist 1/6 * 1/6 * 5/6 = 5/216. Genauso hoch ... [ueberlege selbst]. Also ist die Wahrscheinlichkeit fuer genau zwei Sechsen 3 * 5/216 = 15/216
- Die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass alle drei Wuerfel eine Sechs zeigen, ... [ueberlege selbst].
Genau durch solche Ueberlegungen kommt man auf die oben genannte Formel. Irgendetwas in der Art solltet ihr aber schon gehabt haben, z.B. die Binomialkoeffizienten (n ueber k) koennten Dir bekannt sein...
Ich hab die Stelle nicht ganz verstanden wie du auf die 125/216 gekommen bist.
Wenn das eine Formel sein soll ich glaub due hatten wir noch nicht
p("eine sechs")=3/216; (Für erster/zweiter/dritter Würfel eine 6)
p("zwei sechsen")=3/216;(Erster+Zweiter/Erster+Dritter/Zweiter+Dritter)
p("drei sechsen")=1/216;(erster+Zweiter+Dritter)
E(x)=-1€* 3/216 - 2€ * 3/216 - 3€ * 1/216 +1€*209/216=ca. 0,912€;
Omg. Und ih werd in einem Jahr Mathe erhöht Abi schreiben I cant ich checks nicht ich brech ab alter
Ich muss dieses Jahr(Ich glaub in 2 oder 3 Wochen) Abi schreiben...
Wie glaubst du muss ich mich fühlen, dass ich auch erst auf die falsche Lösung gekommen bin?
Aber da auf den anderen keine 6 rauskommt kann ich doch festlegen dass es 3 sechsen gibt und wieso hat ein Würfel 25 möglichkeiten und nicht6?
25 sind die Möglichkeiten für 2 Würfel ohne eine sechs...
Zu diesen kommt dann noich der eine Würfel mit der sechs...
Das ganze wird dann mal 3 genommen, da ja jeder der Würfel der mit der 6 sein kann...
Abwr ist es nicht egal was bei den anderen Würfeln rauskommt, wenn es keine Sechs ust?
Genau...Aber den Denkfehler hab ioch auch gemacht...
bei 3/216 würde das heißen, dass du genau festlegst, was auf den anderen Würfeln herauskommt...
Da das aber vollkommen egal ist(fast), gibt es natürlich etwas mehr möglichkeiten, nämlich, pro Würfel 25....
Wenn ein Würfel eine sechs ist und die anderen beiden Würfel alles, außer eine Sechs sein dürfen, dann gibt es 5*5 Möglichkeiten für die andern beiden Würfel...
E(x) ist, basierent auf den Wahrscheinlichkeiten ganz einfach.
Bei einer sechs verliert er 1€: x1=-1;
Bei zwei Sechsen verliert er 2 €: x2=-2
Bei drei Sechsen verliert er 3€: x3=-3
Ansonsten gewinntr er 1€: x4=1
p1, p2 und p3 sind die Wahrscheinlichkeiten von oben.
P4 ist 1-(p1+p2+p3) ...
E(x)=x1*p1+x2*p2+x3*p3+x4*p4;
Wirklich? Muss ich das nicht bisschen ausführlicher machen wie bei Aufgabe 3.?
Also wenn das wirklich so reicht DANKE du rettest mein Leben
Bei 216 Ergebnissen würdest du dich da ja dumm und dämlich schreiben...
Einfach etwas nachdenken...
Ich glaub aber, vielleicht ist meine Lösung doch falsch...
Müsste es nicht 25 Möglichkeiten für jeden Würfel mit einer 6 geben, als insgesamt 75?
Bei zwei sechsen wären es dann 3 * 5, also 15
und bei 3 sechsen bleibt es so...
Zumindest, wenn ich jetzt nochmal ein wenig darüber nachdenke, da der eine Würfel ja glaich bleibt und die anderen Würfel können alles außer 6 sein...
Du hörst dich an wie mein Mathe lehrer.
Naja, Menschen sind nicht perfekt und manchmal kann man etwas einfach nicht das Schulsystem ist sowieso so aufgebaut dass nicht jeder alles kann.
Ist ja nicht so als hätte ich es nicht versuchz, aber ich habe noch viele andere Fächer und noch ein Leben