Wie rechne ich das aus?
3 Antworten
Zuerst zeichnest du ein Koordinatensystem sinnvoll ein. Sinnvoll ist es dann, wenn der Ursprung im Scheitelpunkt der Parabel liegt:
..und dann markierst du noch die bekannten Punkte. Die müssen aber dieselbe Einheit in haben und man muss berücksichtigen, dass sie negative Werte haben, weil sie links und unterhalb vom Ursprung liegen.
Damit kann man arbeiten, denn bevor wir die Fragen a bis c beantworten, müssen wir die Funktionsgleichung der Parabel ermitteln:
Ansatz:
y = ax^2
Nun machen wir mit P die Punktprobe, um a auszurechnen:
-0,2 = a * (-2)^2
-0,2 = a * 4
a = -0,2 / 4 = -0,05
Damit lautet die Funktionsgleichung der Parabel:
y = -0,05 x^2
a) Gesucht ist der y-Wert von Q, denn der ist der Abstand vom Boden zur Schlauchspitze, die den Ursprung bildet:
Wir setzen Q(-5/y) in die Funktionsgleichung ein:
y = -0,05 * (-5)^2 = -1,25
Ergebnis: K hält den Schlauch in einer Höhe von 1,25 m über dem Boden.
b) Nun ist der y-Wert gegeben und der x-Wert ist gesucht:
-1,8 = -0,05 * x^2
x^2 = 1,8 / 0,05 = 36
x = √36 = 6
Ergebnis: der Strahl trifft in einer Entfernung von 6 m von K's. Fuß auf auf.
c)
K will in einen Eimer mit 30 cm Höhe treffen. Wie weit entfernt muss der Eimer aufgestellt werden?
Denke (oder zeichne) Dir ein Koordinatensystem in das Bild, wobei der Standpunkt von Kerstin die y-Achse ist und entsprechend ist dort auch der Scheitelpunkt der Parabel, d. h. Du hast eine Parabel, die nur auf der y-Achse verschoben ist, also als Funktionsgleichung: f(x)=ax²+c.
Du kennst c nicht, aber Du siehst, dass bei einer Änderung von x=2, sich die Höhe des Strahls um y=-0,2 ändert, d. h. Du kannst ohne Beachtung des c's (das verschiebt den Graphen ja eh nur rauf und runter, die Höhenänderung des Strahls bleibt die gleiche) die Gleichung y=ax² aufstellen, also mit eingesetzten Werten: -0,2=a*2². Das nach a umgestellt ergibt a=-0,05.
Als weiteres weißt Du, dass der Strahl bei x=5 auf den Boden trifft, d. h. bei x=5 ist eine Nullstelle (und bzgl. der kompletten Parabel natürlich auch bei x=-5, wenn man sie in die andere Richtung weiterzeichen würde).
Kennst Du die Nullstellen einer Parabel (oder auch jeder anderen Polynomfunktion), dann kannst Du die sogenannte Nullstellenform aufstellen: f(x)=a * (x minus Nullstelle1) * (x minus Nullstelle2), also hier mit eingesetztem a:
f(x)=-0,05 * (x-5) * (x-(-5))=-0,05 * (x-5) * (x+5) = -0,05 * (x²-25). Das jetzt ausmultiplizieren und Du hast die Normalform, aus der Du leicht die Höhe des Schlauchendes (ist bei x=0) ablesen kannst.
Du musst Gleichungen mit den Informationen bilden.
zb f(5)=0
usw
und dann in ax²+bx+c einsetzen
und mit normalen quadratischen funktionen also a * x ^2?