Wie mache ich mein Referat zu dem Thema Hesseche Normalform?

Hey Leute ich habe daran gedacht mein Referat in einzelne Themen einzuteilen wie z.B wer es erfunden hat, wofür man es braucht, wie man es anwendet und welche Vorkentnisse man braucht. Und ganz am Ende würde ich ein eigenes Beispiel an die Tafel rechnen um es besser zu veranschaulichen. Leider ist Mathe gar nicht meine Stärke und deshalb versuche ich dadurch meine Note zu verbessern. Die Biographie (ganz kurz) ist klar, was es ist und wofür es gebraucht wird ebenso. Ich weiß aber nun nicht weiter. Gibt es für die Hesseche Normalform eine allgemeine Formel oder woher bekommt man die ? Ich habe im Internet gesehen d(P;E) also d für Distanz von Punkt und Ebene dann in Betragzeichen | Hesseche Koordinatenform | aber wieso macht man denn die Koordinatenform ? Und woher kommt die Herrleitung der Koordinatenform und der Normalen Hessechenform. Ich suche schon paar Stunden im Internet aber finde nichts was mir weiterhilft. Vielleicht ist einer hier der mir es besser erklären kann oder vielleicht Privat helfen kann. Ich wäre auf jeden Fall dankbar. Schöne Feiertage weiterhin

Answer 1

[jeanyfan]

Wenn du eine saubere geometrische Herleitung willst:

Für einen Punkt P zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck aus dem Ortsvektor und dem Normalenvektor zur Ebene, den man in d_E (Abstand der Ebene zum Ursprung) und d_P (Abstand von P zur Ebene) unterteilt.

Wenn du jetzt den Winkel alpha ausrechnen willst, kannst du das dann mit dem Skalarprodukt und dem Normaleneinheitsvektor n_0 (also Normalenvektor der Länge 1) machen: $\vec{p}\cdot\vec{n_0}=\cos\left(\alpha\right)\cdot\left|\vec{p}\right|$

Da aber trigonometrisch auch gilt $\cos\left(\alpha\right)=\frac{\left(d_E+d_P\right)}{\left|\vec{p}\right|}$ kann man das oben einsetzen und erhält $\vec{p}\cdot\vec{n_0}=\frac{\left(d_E+d_P\right)}{\left|\vec{p}\right|}\cdot\left|\vec{p}\right|=d_E+d_P$

Also $\vec{p}\cdot\vec{n_0}-d_E=d_p$

Das Skalarprodukt ist genau das Gleiche, wie wenn du in die Koordinatenform deinen Punkt P einsetzt.

d_E erhältst du dann, wenn du das Skalarprodukt mit dem Normaleneinheitsvektor für einen Punkt P aus der Ebene berechnest.

Bzw. wenn du schon die allgemeine Koordinatengleichung mit einem Normalenvektor beliebiger Länge gegeben hast, bringst du alle Werte auf eine Seite und teilst die GANZE Seite dann durch die Länge des verwendeten Normalenvektors.

Also z.B. $2x_1+2x_2+3x_3=2\ \Rightarrow\ \frac{2x_1+2x_2+3x_3-2}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{2x_1+2x_2+3x_3-2}{3}=0$

Hoffe das hilft dir etwas.

Answer 2

[Wechselfreund]

Ergänzung: Der Mann hieß Hesse, daher Hessesche Normalform.