Matheolympiade, benötige Hilfe?
Man bestimme alle Paare von ganzen zahlen (a,b), die alle Bedingungen (1), (2) und (3) erfüllen.
(1) Es gibt drei direkt aufeinanderfolgende ganze Zahlen, deren Produkt gleich a ist;
(2) b ist die Summe dieser drei Zahlen;
(3) a ist das Fünffache von b.
Ich benötige wenn möglich eine schnelle Antwort, ich wäre jedem Mathe-Ass sehr dankbar.
2 Antworten
Ich führe noch eine dritte Zahl c ein.
Dann gilt:
c * (c + 1) * (c+2) = a
c + (c+1) + (c +2) = b
a = 5b
wir haben drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und das lässt sich lösen.
Aus c + (c+1) + (c +2) = b folgt:
3c + 3 = b
Aus a = 5b folgt:
b = a/5
Beide gleichgesetzt:
3c + 3 = a/5
a = 15c + 15
Gleichgesetzt mit c * (c + 1) * (c+2) = a :
c * (c + 1) * (c+2) = 15c + 15
Nach c auflösen:
(c^2 + c) (c+2) = 15c + 15
c^3 + c^2 + 2c^2 + 2c = 15c + 15
c^3 + 3c^2 - 13c - 15 = 0
Das gebe ich in den Funktionsplotter (GTR) ein und erhalte diesen Graphen:
Es gibt also 3 Lösungen für c: -5, -1, 3
für c = -5
-5 * -4 * - 3 = a = -60
-5 -4 -3 = -12
stimmt also, denn 5 * -12 = -60
für c = -1
-1 * 0 * +1 = a = 0
-1 -0 +1 = 0
stimmt also, denn 5 * 0 = 0
für c = 3
3 * 4 * 5 = a = 60
3 + 4 + 5 = b = 12
stimmt also, denn 5 * 12 = 60
Antwort:
Es gibt 3 Zahlenpaare (a,b) und die lauten (-60,-12), (0,0) und (60,12)
Hättest du zufällig noch eine weitere geniale Antwort auf meine andere Frage parat?
Seien die drei aufeinanderfolgenden Zahlen (n-1), n, (n+1)
Dann ist
a = (n-1) * n * (n+1) = (n² - 1) * n
b = (n-1) + n + (n+1) = 3 * n
a = 5 * b
Daraus folgt
a = 15 * n
(n² - 1) * n = 15 * n
Eine Lösung ist n = 0.
Wenn n von 0 verschieden ist, kann man durch n teilen
n² - 1 = 15
n² = 16
Zwei weitere Lösungen sind n = -4 und n = 4.
Daraus ergeben sich folgende drei Zahlenpaare
a = 0, b = 0
a = -60, b = -12
a = 60, b = 12
Danke, hättest du zufällig noch eine Antwort auf meine andere Frage parat?