Wie löst man die Matheaufgabe mit den Pantoffeltierchen (Exponentialfunktion)?
Hey, mein Lehrer hat mir heute eine Aufgabe gegeben, die ich leider bis jetzt noch nicht lösen konnte.
In einer Nährlösung befinden sich Pantoffeltierchen. Deren Anzahl nimmt exponentiell zu. Ab etwa 20 Pantoffeltierchen pro ml ist das nicht mehr der Fall.
Die Anzahl N der Pantoffeltierchen pro ml in Abhängigkeit von der Zeit t lässt sich durch eine Gleichung der Form N(t)= a - b * c^t beschreiben.
Anfangs (t=0) sind 20 Pantoffeltierchen pro ml vorhanden, nach einem Tag (t=1) 40 Pantoffeltierchen pro ml.
Als Grenzwert stellen sich 100 Pantoffeltierchen pro ml ein.
Bestimmen Sie die Parameter a, b und c.
Ich wäre sehr glücklich über hilfreiche Antworten :)
2 Antworten
Hallo,
das Gleichungssystem, das sich aus t=0 und t=1 entwickeln läßt, sollte klar sein:
f(0)=a-b*c^0=20, daraus folgt, da c^0=1 und b*1=b, daß a-b=20
f(1)=a-b*c^1=40
Nun kommt die Sache mit dem Grenzwert, also der Wert, gegen den die Funktion für t gegen unendlich strebt. Der soll 100 sein.
Was sagt das über c aus, dem einzigen Parameter, der direkt von t abhängig ist?
Wenn c größer als 1 wäre, würde c^t für t gleich unendlich auch gegen unendlich gehen. Da das b in einfacher Potenz auftritt und a einfach nur eine Konstante ist, könnten a und b auf keinen Fall c^t kompensieren.
Wäre c=1, bliebe c^t für alle t immer gleich, nämlich c, da würde gar nichts irgendwohin streben.
Wenn c aber zwischen 0 und 1 liegt, wenn also gilt 0<c<1, dann geht c^t für t gegen unendlich gegen 0 und damit auch b*c^t. Damit ist klar, daß a gleich 100 sein muß, das ist nämlich das einzige, was von der Formel übrigbleibt, wenn sich b*c^t verabschiedet. Da a-b=20 und a=100, folgt daraus, daß b=80.
Da a-b*c=40 und 100 für a sowie 80 für b eingesetzt wird, folgt daraus:
100-80c=40
80c=60
c=60/80=3/4 nach Kürzen durch 20.
Daher f(t)=100-80*(3/4)^t.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Sehr schön beschrieben! Jetzt hab ich es (:
du musst die gegeben werte einsetzen und das entstehem gleichungssystem lösen
Ja das ist mir bewusst, aber wie soll ich den Grenzwert von 100 in die Funktion einbauen?