Wie löse ich so eine Aufgabe?
hallo
ich habe Probleme diese Aufgabe zu lösen
4 Antworten
Im Prinzip musst du nur prüfen, ob der Untervektorraum bzgl. der Skalarmultiplikation und der Addition abgeschlossen ist. Das kannst du einzeln machen, indem du zeigst:
Für alle a aus Q gilt: Für alle v aus U1 ist av ebenfalls in U1.
und:
Für alle u, v aus U1 ist u+v ebenfalls in U1.
Oder du machst es in einem Schritt:
Für alle a, b aus Q gilt: Für alle u, v aus U1 ist au + bv ebenfalls in U1.
Damit hat man jeweils auch bewiesen, dass der Nullvektor in Q liegt. Praktischerweise (weil es ein einfaches Kriterium ist) schaut man oft zuerst, ob er drin ist, weil man dann schon fertig ist. Und so ist es hier auch: Der Nullvektor liegt nicht in U1, also kann ich mir das weitere sparen.
Wenn ich das formal aufschreiben würde, dann könnte ich das auch so machen:
Seien a, b aus Q und u, v aus U1. Dann gibt es x, y aus Q mit
u = (x, x+1, x+2, x+4) und v=(y, y+1, y+2, y+4). Damit ist
au + bv = (ax + by, ax + 1 + by + 1, ax+ 2 + by+ 2, ax + 4 + by + 4)
= (ax+bv, ax + bv + 2 , ax+bv + 4, ax+bv + 8).
Da aber für alle Vektoren aus U1 gilt, dass sich die erste und zweite Komponente gerade um 1 unterscheiden, kann dieser Vektor nicht in U1 liegen, damit ist U1 nicht abgeschlossen und daher kein UVR.
Das ist der umständlichere Weg, denn - wie gesagt - reicht es schon zu zeigen, dass der Nullvektor nicht drin liegt.
Du prüfst, ob die Axiome eines Vektorraums für diese Teilmenge gelten. Bei dieser Aufgabe ist das nicht der Fall. Die Multiplikation mit einer Zahl (wenn diese ungleich 1) ist liefert ein ergebnis, was nicht dieser Teilmenge angehört.
Du musst bei der Frage, ob ein Untervektorraum vorliegt, zum Glück nicht alle Vektorraumaxiome durchrechnen, weil sich viele Axiome (z. B. die Gültigkeit des Kommutativgesetzes der Addition und des Distributivgesetzes) auf die Teilmenge übertragen. Du musst lediglich zeigen, dass die Teilmenge bzgl. der Addition und der Multiplikation mit einem beliebigen Skalar abgeschlossen ist.
Rechne für die einzelnen Teilmengen die Vektorraumbedingungen durch und schaue ob sie gelten.
Keine, weil keine dieser Mengen den Nullpunkt enthält…