Wie löse ich dieses Matheproblem?

Problem 1:

Sei 𝑛 eine ungerade ganze Zahl. Beweise, dass die Zahl 𝑛³–𝑛 sicher durch 24 teilbar ist.

Ich habe gar nichts verstanden.... Bitte erklären!

PS: Das 3 nach n ist ein "hoch 3 "

Comments

[ghul666]

Soll es möglicherweise

$n^3-n$ heißen?

jop

Answer 1

[gfntom]

Einfach:

n³-n = n(n²-1) = n * (n+1) * (n-1)

Da n ungerade ist, sind sowohl n+1 als auch n-1 durch 2 teilbar, genau eine der beiden MUSS durch 4 teilbar sein. Das Produkt ist also schon mal durch 8 teilbar.

Die drei Faktoren sind zudem 3 aufeinander folgende Zahlen, deswegen ist genau eine davon durch 3 teilbar und somit auch das Produkt durch 3 teilbar.

Eine Zahl, die durch 8 und durch 3 teilbar ist, ist auch durch 3*8 = 24 teilbar.