Wie lautet die Scheitelform von f (x)= x^2-8x+16?

Am leichtesten ist es bei den Parabeln zu sehen, die unmittelbar einer binomischen Formel entsprechen. Wenn von drei Termen der erste und dritte ein Quadrat sind, sollte man immer einem solchen Verdacht nachgehen.

Allgemeine Form y=f(x)=a2 * x^2 +a1 *x + ao

Seitelkoordinaten x= - a1/(2 *a2)= -(-8) / 2 *1=4  und y= - (a1)^2 /(4 *a2)  +ao

y= - (-8)^2 / 4*1 + 16 =0

Hinweis :diese Formeln errechnen sich aus der quadratischen Umformung der allgemeinen Form.

Seitelpunktform y=a2 * (x +b)^2 + c

b und c ergeben die Scheitelkoordinaten,die wir schon haben b= - 4 und c=0

c>0 Parabel wird nach oben verschoben Scheitel S liegt oberhalb von x-                   Achse

c< 0 Parabel nach unten verschoben s liegt unter der x-Achse

b>0 Parabel nach links verschoben

b< 0 Parabelnach rechts verschoben

a2 >0 Parabel nach oben geöffnet

a2< 0 Parabel nach unten geöffnet

y= x^2 -8 *x + 16 quadratische Umformung 

y= 1 *(x^2 - 8 *x) + 16 binomische Formel (x - b)^2 =x^2 - 2 *b *x +b^2

also 2 *b *x=8 * x ergibt b=4 und b^2 = 16 eingesetzt ergibt

y= 1 *(x^2 - 8 * x + 16) - 16 +16 wieder binomische Formel angewendet

y= 1 *(x - 4)^2 dies ist eine Parabel ,nach oben offen ,Scheitel bei x=4 und        y= 0

Hinweis : - 16 musste hinzugefügt werden,weil durch die Umformung die Gleichung nicht verändert werden darf.

Prüfe auf Rechenfehler !!

Hey :)

Deine Gleichung: f(x) = x² -8x +16

Erstmal erklär ich dir nochmal die binomischen Formeln an sich, da du sie - wie du bereits gemerkt hast - beim Umformen in die Scheitelpunktform benötigst. Es gibt drei binomische Formeln:

• (a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²
• (a-b)² =(a-b)(a-b)= a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²
• (a+b)(a-b) = a²+ab-ab-b² = a²-b²
• Hier mal ein hilfreiches Video dazu: https://www.youtube.com/watch?v=EYbvhWEG6kE

Bei den quadratischen Funktionen hast du bereits a²+2ab. Der Term am Ende, also b², muss ergänztwerden. Näheres in der "Step-by-step" -Erklärung des Umformens :-)

• "Problem": Du möchtest die Form f(x)= ax²+bx+c in die Form f(x)= a(x-xs)²+ys- also die Scheitelpunktform - bringen.
• Funktion: f(x)= x²+3x+4
• Du musst erstmal die Gleichung durch den Streckfaktor dividieren,falls die Gleichung nicht in Normalform gegeben ist. Du hast aber eine Gleichung in Normalform gegeben, somit ist dieser Schritt nicht mehr nötig.
• Nun musst du den Term ohne x ausklammern.
• Anschließend sieht man, dass du ja in der Klammer bereits (a²+2ab) hast. Um nun den Term b² zu ergänzen, einfach die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und addieren.
• Da du ja nicht einfach so etwas dazu fügen darfst, musst du das addierte Quadrat subtrahieren (erklär ich später näher).
• Jetzt kannst du die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen. Achtung: Es kommt nie eine dritte binomische Formel vor!
• Nun die Terme ohne x zusammenfassen.
• Fertig :-)

Nochmal die dick markierten Schritte:

• die Gleichung durch den Streckfaktor dividieren
• Term ohne x ausklammern
• die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und addieren
• das addierte Quadrat subtrahieren
• die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen
• die Terme ohne x zusammenfassen

Beispiel an der Gleichung

• Gegebene Funktion: f(x) = x²-8x +16
• Term ohne x ausklammern: f(x)= (x²-8x)+16
• Die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und zusammenfassen: f(x)= (x²-8x +16)+16
• Das addierte Quadrat subtrahieren: f(x)= (x²-8x +16)-16+16
• Die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen: f(x)=(x-4)²-16+16
• Terme ohne x zusammenfassen: f(x)= (x-4)²+0
• Scheitelpunktsform: f(x)= (x-4)²

Ich erkläre dir nochmal Schritt 3 und 4 näher.

• Du hast ja in der Klammer die Form a²+2ab vorliegen. Dabei ist das a immer x, wenn du eine Umformung in Scheitelpunktform vornimmst.
• Wenn du dir jetzt den Term 2ab anschaust - der ist hier von großer Wichtigkeit - muss dir auffallen, dass die Zahl, die vor dem einfachen x steht, 2b ist (das x ist ja schon a). Wenn du nun 2b durch 2 teilst, erhältst du ja b - genau Dies musst du hier auch tun, um b zu erhalten.
• Um nun b² zu erhalten, musst du einfach die Zahl, die du für b erhalten hast, quadrieren (also mit sich selbst mal nehmen). Dieses Quadrat addierst du einfach zu a²+2ab und fertig ist die binomische Formel.
• Aber: Du darfst ja bei einer Äquivalenzumformung nicht einfach etwas dazunehmen!
• Jetzt kommt da die Subtraktion ins Spiel: Das b², was du eben hinzugefügthast, musst du (außerhalb der Klammer!) wieder abziehen, wie in Schritt 4 gezeigt.
•  Nun formst du einfach, wie in den restlichen Schritten gezeigt, weiter um.
• Mit der Scheitelpunktform, die du nun erhalten hast, kannst du den Scheitelpunkt ermitteln:
• Da du weißt, dass die Scheiteplunktsform f(x)= (x-xs)²+ys bzw. f(x)=(x-d)²+e (je nachdem wie du es gelernt hast) und die entsprechenden Koordinaten des Scheitelpunktes S(xs|ys) bzw. S(d|e) sind, kannst du nun ganz einfach den Scheitelpunkt ablesen.

Das war so das, was es dazu zu sagen gibt - oben siehst du ja, wie du vorzugehen hast. Manchmal musst du eben erstmal den Streckfaktor mit ausklammern...

Bei Fragen melde dich :)

LG ShD

y=(x-4)²  bitte