Scheitelform in Produktform

Hallo, wie wandle ich Scheitelform in Produktform um? Könnt ihr anhand eines beispieles erklären?

Answer 1

[Volens]

Um die Darstellung von Ellejolka zu ergänzen, sage ich dir noch was, das sie (als Selbstverständlichkeit) weggelassen hat. (Aber vielleicht ist es für dich nicht so selbstverständlich.)

Aus der allgemeinen Form
y = 3x² - 30x + 79
musst du die 3 vor x² erst einmal wieder herausnehmen, denn du baust dir eine Nullstellenform, die du normieren musst (Division durch die Vorzahl von x²), also
x² - 10x + 79/3 = 0

Jetzt erst kannst du die p,q-Formel anwenden.
Die Lösungen werden dann zu Linearfaktoren (x - xn), wobei man auch wieder aufpassen muss:
Eine positive Lösung ergibt einen LF mit negativem Vorzeichen und umgekehrt.
Ist eine (jetzt nicht ausgerechnete, sondern angenommene Lösung +2, dann heißt
der LF (x - 2), heißt die Lösung -3,5, ist der LF (x + 3,5).

Die beiden Klammern schreibst du hintereinander und die 3 wieder davor, also so:
f(x) = 2 (x - x1) (x - x2)

Das ist dann die Produktform.

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Comments

[Ellejolka]

und die 3 wieder davor

[Volens]

@Ellejolka

Na, klar, immer die Vertipper. Danke, meine 2 ist eine 3, ganz richtig:

f(x) = 3 (x - x1) (x - x2)

Answer 2

[phigeek]

Du hast die Scheitelform

$y=a\left(x-m\right)^2+n$

gegeben. Der Scheitelpunkt ist S(m|n).

Berechne die Nullstellen x1 und x2 nun so:

$x_{1,2}=m\pm\sqrt{\frac{-n}{a}}$ Dies ergibt zwei Nullstellen x1 und x2 (sofern der Radikand positiv). Dann steht die Produktform bereits da:

$y=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

Vorstellen kannst Du Dir das so:

• Die Nullstellen müssen ja beide gleich weit von der x-Koordinate des des Scheitelpunktes entfernt sein, daher das PlusMinus (±).
• Ist der Radikand (unter der Wurzel) negativ, so schneidet die Parabel die x-Achse nicht. Dann gibt es reell auch keine Lösung.
• Je größer a, umso steiler die Parabel, daher steht a im Nenner. n gibt an, wie weit der Scheitelpunkt von der x-Achse entfernt ist, daher steht n im Zähler.
• a und n müssen umgekehrte Vorzeichen haben, ansonsten gibt es keine Lösung, daher das Minus (-) unter der Wurzel.

Woher ich das weiß: Berufserfahrung

Answer 3

[DieChemikerin]

Hey :-)

f(x)= 2(x-2)²+4
=> Scheitelpunktform, jetzt ausmultiplizieren :

f(x) = 2x²-8x+12
=> allgemeine Form, mit 0 gleichsetzen, anschließend durch 2 teilen

0 = 2x² -8x +12 :2
0 = x² -4x +6
=> Normalform, jetzt in die pq-Formel einsetzen:

x = 2 +- Wurzel(10)
x1 = -1,16; x2 = 5,16
=> faktorisierte Form: f(x)= 2(x+1,16)(x-5,16)

Ich hoffe ich konnte helfen.

lg ShD

Woher ich das weiß: Hobby – seit der Schulzeit, ehemals Mathe LK

Answer 4

[Ellejolka]

y = 3(x-5)² + 4

y = 3(x² - 10x + 25) + 4

y = 3x² - 30x + 75 + 4

y = 3x² - 30x + 79 das ist die Normalform

jetzt Nullstellen mit pq-Formel, dann y=a(x-N1)(x-N2) ist Produktform