Wie lautet die Formel um in einem gleichschenkligen Dreieck einen Winkel zu berechnen?
Habe a 12 cm, b 12 cm und c 10,11 cm. Wie berechne ich nun den Winkel zwischen a und b ????
PS: Ich meine natürlich OHNE Taschenrechner - nur die Formel... Finde im Internet nur online-Rechner, würde aber gerne wissen, wie man das auf dem Papier rechnen kann
3 Antworten
Also:
Stell dir das Dreieck so vor, dass a links und b rechts liegt.
Jetzt zeichnest du von der Spitze bis zum Boden die Höhe h ein.
Der Winkel Gamma zwischen a und b wird nun halbiert, so auch das ganze Dreieck.
Jetzt hast zwei Dreiecke, welche nur zueinander gespiegelt sind, und kannst sagen, dass deine Seite c nur noch halb so groß ist.
Somit haben die Böden der beiden Dreiecke jeweils die Länge c/2.
a kennst du auch, und (c/2)/a = c/(2a) = sin(beta/2), denn Sinus ist Gegenkathete/Hypotenuse.
Die Gegenkathete heißt so, weil sie GEGEN über unseres gesuchten Winkels sind.
Wenn du jetzt den Winkel b/2 bestimmen willst, musst du von beiden Seiten den inversen Sinus ziehen, damit der Sinus auf der rechten Seiteverschwindet. (Der inverse Sinus sorgt halt dafür, dass, wenn man nur das Verhältnis aus Gegenkathete und Hypotenuse kennt, man dann mit dem inversen Sinus den Winkel bestimmen kann, mit welchem die beiden Seiten zu einander liegen.)
sin^1(c/(2a)) = sin^1(sin(c/2))
=> sin^-1(c/(2a)) = Gamma/2
=> Gamma = 2*sin^-1(c/(2a))
Deine gesuchte Formel ist Gamma = 2*sin^-1(c/(2a)).
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen! :)
JTR
cos α = c / 2b = sin (γ/2)
cos β = c / 2a = sin (γ/2)
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Ein Term der Form (c/2) / b heißt immer: die ganze Zahl wird an den Nenner heran multipliziert.
