Wie konstruiert man das Dreieck?
Gegeben sind a= 6cm, Seitenhalbierende von c = 4,3cm und Höhe von c= 4cm.
Kann man daraus ein Dreieck mit Geodreieck und Zirkel konstruieren?
Schonmal danke für die Antwort
3 Antworten
Kann man daraus ein Dreieck mit Geodreieck und Zirkel konstruieren?
Ja, kann man. Das Dreieck ist dadurch jedoch nicht eindeutig bestimmt. Es gibt verschiedene Dreiecke, die diese Bedingungen erfüllen.
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Wie komstruiert man das Dreieck?
Idee hinter der Konstruktion:
- Die Höhe h[c] verläuft senkrecht zur Seite c. Wenn man den Schnittpunkt von h[c] mit der Seite c als H bezeichnet, so ist das Dreieck BCH rechtwinklig bei H. Dieses Dreieck BCH lässt sich mit Hilfe eines Thaleskreises konstruieren.
- Wenn man dann H gefunden hat, so liegt H insbesondere auf der Seite c. Die Seite c verläuft also entlang der Halbgeraden [BH.
- Mit Hilfe der Länge der Seitenhalbierenden kann man den Mittelpunkt M der Seite c als Schnittpunkt eines Kreises mit der Halbgeraden [BH finden.
- Schließlich muss man nur noch die Strecke [BM] verdoppeln, um die Seite c zu erhalten.
Beschreibung der Konstruktion:
Zeichne zunächst die 6 cm lange Seite a, und markiere die Punkte B und C am Ende der Strecke a.
Konstruiere dann den Mittelpunkt M[a] der Seite a. Zeichne einen Kreis k₁ um M[a], der durch die Punkte B und C verläuft. Der Kreis k ist Thaleskreis der Strecke a. [Bzw. reicht der passende Halbkreis, um im nächsten Schritt den Punkt H finden zu können.]
Zeichne einen Kreis k₂ um C, dessen Radius der Dreieckshöhe h[c] = 4 cm entspricht.
Markiere den passenden Schnittpunkt H der Kreise k₁, k₂. [Passend soll hier bedeuten: Verwende denjenigen der beiden Schnittpunkte, sodass beim Dreieck BCH die Punkte B, C, H in dieser Reihenfolge entgegen dem Uhrzeigersinn benannt sind.] Dieser Punkt H ist dann der Höhenschnittpunkt, der auf der Seite c liegt.
Zeichne die Halbgerade r beginnend bei B, welche durch H verläuft.
Zeichne einen Kreis k₃ um C, dessen Radius der Länge s[c] = 4,3 cm der Seitenhalbierenden von c entspricht.
Es gibt nun zwei Schnittpunkte M₁ bzw. M₂ der Halbgeraden r mit dem Kreis k₃. [Dementsprechend wird es auch zwei mögliche Dreiecke A₁BC bzw. A₂BC geben, welche die geforderten Bedingungen erfüllten.] Der Schnittpunkt M₁ bzw. M₂ ist nun der Mittelpunkt der Seite c.
Zeichne einen Kreis um M₁ bzw. M₂, der durch B verläuft. Markiere den Schnittpunkt des Kreises mit der Halbgeraden r mit A₁ bzw. A₂.
Vervollständige das Dreieck A₁BC bzw. A₂BC. D.h.: Zeichne die Strecken [A₁B] und [A₁C] bzw. die Strecken [A₂B] und [A₂C].
Skizze machen!
Zeichne a und darum den Thaleskreis mit r = a/2. Kreisbogen um C mit r = hc liefert einen Punkt auf c. Damit hast du schon mal "die Richtung" von c. Kreisbogen um C mit dem Radius der Seitenhalbierenden liefert den Mittelpunkt von c. Jetzt noch zum vollständigen Dreieck ergänzen. (Es dürfte zwei Lösungen geben)
Mache eine Planskizze, zeichne dort die bekannten und unbekannten Daten ein.
- Zunächst den Fußpunkt der Höhe mit D und den Fußpunkt der Seitenhalbierenden mit E bezeichnen.
- Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge von DB bestimmen
- Mit HIlfe des Satzes des Pythagoras die Länge von DE bestimmen.
- c = 2*(DE + DB)
- Zeichne eine Linie der Länge c und nenne das linke Ende A und das rechte B. Schlage um B einen Kreis mit Radius 6. Schlage um E einen Kreis mit Radius 4,3. Am Schnittpunkt der beiden Kreise liegt C.
nix Nanu, mußte schnell korrigieren :-). Ich wußte nicht mehr genau was die Seitenhalbierende ist :-)
Nanu?