Wie kommt man auf dieseFormel?
Kurzfassung der Angabe: Wie oft wird angestoßen, wenn bei 5 Personen jeder mit jedem einmal anstoßt?
Lösung: n=5 => (n*(n-1))/2= (5*4)/2=10
Meine erste Überlegung war: Jede der 5 Personen kann mit 4 unterschiedlichen Personen anstoßen...Ich hab dann überlegt welche der typischen Kombinatorik-Formeln ich anwenden könnte..
Aber die Lösung ist total anders als erwartet..Ich versteh vor allem das "geteilt durch 2" nicht...
Kann mir bitte jemand erklären wie man darauf kommt? :)
5 Antworten
Anschaulich heißt das:
Normalerweise gäbe es n*n Möglichkeiten.
n*(n-1) ergibt sich daraus, dass man nicht
mit sich selber anstößt. Die 2 kommt daher,
dass A mit B anstößt, aber B nicht mehr mit A -
die beiden "haben ja schon".
In der Fußball-Bundesliga gibt es
darum 18*17 Spiele. Die 2 entfällt
wegen der Rückspiele: A spielt bei
B und B bei A. Die 17 kommt wie oben
daher, dass eine Mannschaft nicht gegen
sich selber spielt.
Das ist der Kleine Gauß:
Die erste Person kann mit 4 Leuten anstoßen
Die zweite nur noch mit 3
Usw
Also wird insgesamt 4+3+2+1 Mal angestoßen
Der kleine Gauß besagt, dass die Summe der natürlichen Zahlen bis n gleich n(n+1)/2 ist (lässt sich durch Induktion zeigen)
Da man alle zahlen bis n-1 aufsummiert ist die Gesamtanzahl also:
n*(n-1)/2
Eine zweite, geometrische Anschauung wäre, dass du jede Person als Ecke betrachtest, und das anstoßen als Verbindungslinie.
Von jeder der n Personen gehen n-1 Linien aus. Da aber die Linien doppelt gezählt werden, muss es noch halbiert werden
Also auch n*(n-1)/2
Gerne, hab noch eine zweite Interpretationsmöglichkeit hinzugefügt ^^
n•(n-1) also in deinem Fall 5•4
Das ist der 1. Schritt, aber dabei zählst du jedes Anstoßen doppelt, also du zählst, wenn A mit B anstößt und wenn B mit A anstößt. A und B stoßen aber nur 1-mal miteinander an und nicht 2-mal.
Deshalb musst du noch mal durch 2 teilen.
Die korrekte Formel lautet also:
n•(n-1)/2
Anzahl der Möglichkeiten Zweiergruppen auszuwählen. Aber zwei Personen stoßen nur einmal an.
https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel#Numerische_Veranschaulichung
hier kannst du dich einlesen
Danke!!