Wie kann ich die Tangentialvektoren in diese Spur einzeichnen?
Es geht um den letzten Punkt, dazu habe ich folgende Skizze erstellt
Ist das so richtig? Es erscheint mir so, dass die Tangentialvektoren falsch sind, weil sie sich nicht an die Spur anschmiegen
1 Antwort
Die lineare Approximation an einer Stelle t0 der Kurve G(t) ist gegeben zu:
Ga(t) = G(t0) + dG(t0)/dt * (t - t0)
Entsprechend ist also der zugehörige Tangentialvektor an dem Punkt G(t0) der Kurve gegeben zu
v = dG(t0)/dt
Mit der Definition der Kurve G(t) = 2*(1 + cos(t))*[cos(t) ; sin(t)]^T folgt dann der zugehörige Tangentialvektor an der Stelle t zu
v(t) = dG(t)/dt = 2*(0 - sin(t))*[cos(t) ; sin(t)]^T + 2*(1 + cos(t))*[ - sin(t) ; cos(t)]^T
--> v(t) = [ (-4)*sin(t)cos(t) ; 2*(cos²(t) - sin²(t)) ]^T
Setze nun bspw. t = 0 in die Beziehungen zur Bestimmung von Ga ein, so erhalten wir
Ga(t) = [4 ; 0]^T + [ 0 ; 2 ]^T * (t - 0)
Zum einzeichnen bestimme nun die Lage von G(t0), hier [4 ; 0]^T , und zeichne ausgehend von diesem Punkt den Tangentialvektor v(t0) , hier [ 0 ; 2 ]^T . In dem Fall für t0 = 0, solltest du feststellen, dass v(t0 = 0) parall zum Einheitsvektor der Y-Richtung zeigt und tatsächlich tangetial zur Spur der Kurve G(t) an der Stelle t0 = 0 ist.
Nein, dass war anscheinend ein Fehler meinerseits. Habe bei dem Zusammenfassen in der Y-Komponente ein + 2cos(t) vergessen. Deine Lösung ist also korrekt.
Ich habe die Ableitung noch mal nachgerechnet und bin auf den Tangentialvektor Ga(t) = [4 ; 0]^T + [ 0 ; 4]^T * (t - 0) gekommen, habe ich einen Fehler gemacht?