Wie hoch wird der Raum?
Ein Gewölbe wird durch den Graph der Funktion f mit f(x) = -0,25x^2 + 4 beschrieben. In dieses Gewölbe wird eine Decke und die Seitenwände so eingefügt, dass der umbaute Raum möglichst groß ist. Wie hoch wird dann der Raum?
3 Antworten
Du hast geschrieben du sollst das mit der Trapezformel lösen.
A = h * (a+c)/2
Die Grundseite a ist der Abstand der beiden Nullstellen.
Entscheidend herauszufinden ist wie die Höhe sein muss. Da es symmetrisch ist, würde ich es aber anders rechnen:
Maximiert werden soll die Dreiecksfläche. Die Formel für die Fläche bleibt gleich.
A = h * (a+c)/2
Das a ist die Nullstelle von f(x) bis zum Ursprung
a = f(0) - 0
Die Nullstelle ist bei x = 4, also
a = 4 - 0 = 4
h ist die Höhe, die irgendwo auf der Funktion liegt. h = f(x)
Das c ist denn der Abstand von diesem Punkt x bis zur y-Achse bei x = 0
c = x - 0 = x
Alles einsetzen in A = h * (a+c)/2
A(x) =f(x) * (4+x)/2
Diese Funktion A(x) gibt dir nun an die Fläche in Abhängigkeit von x. Dort wo x ist, steht die Höhe h, also eine Stütze vom Dach.
Bilde die Funktion von A(x) vollständig. Suche davon den Hochpunkt der ist bei x = 4/3
Die Höhe der Halle erhältst du wenn du rechnest:
h = f(4/3) = 3,55
Wegen der Symmetrie reicht es aus, das halbe Trapez zu untersuchen, also das rechtwinklige Trapez im ersten Quadranten. f(x) ist die Höhe vom Trapez. Die Nullstellen von f(x) liegen bei +- 4.
A = (1 / 2) * (4 + x) * f(x) → Max.
Nebenbedingung:
f(x) = -0,25 * x² + 4
Das ergibt zusammen:
A(x) = (1 / 2) * (4 + x) * (-0,25 * x² + 4)
Ableiten, Maximum bestimmen, Höhe bestimmen ...
also ausm bauch raus:
- maximale Steigung mit der ersten Ableitung bei den Nullstellen ermitteln.
- mit dieser Steigung kann ich dann die Geradenfunktion aufstellen.
- Schnittpunkt von f(x) und g(x) berechnen.
- die y Koordinate dieses Schnittpunztes entspricht der Höhe.
Ach moment ich habe den unteren teil der frage nicht gelesen xD
haha
wir sollen das mit der trapez formel machen und dann schauen bei welchem x wert der höchste wert für den flächeninhalt ist
h ist ja einfach die höhe von f(x) denk ich aber ich bin mir nicht sicher was a und c sind
sehr gut erklärt vielen dank!