Wie hoch muss das Sektglas gefüllt werden, damit es halb voll ist?
Hallo Leute! Ich muss am Montag diese Aufgabe vorstellen und stehe grad total auf dem Schlauch. Die Aufgabe lautet: Ein kegelförmiges Sektglas hat den Randdurchmesser 6 cm und eine Höhe von 15 cm. Wie hoch muss dieses Glas gefüllt werden damit es halb voll ist?
Also mein Ansatz: Das Volumen des vollen Glases beträgt 141,4 Kubikzentimeter (das Volumen des halbvollen Glases muss also 70,7 Kubikzentimeter betragen) Ich habe in der Teilaufgabe davor Tangens angewandt und herausbekommen dass der Winkel(unten in der Spitze des Glases) 11,3° beträgt. Mein Lehrer gab mir den Tipp dass ich zwei Gleichungen aufstellen muss um an die Lösung zu gelangen: 1. Gleichung: 0,5 × 1/3 × r zum Quadrat × pi × h = 1/3 × r' zum Quadrat × pi × h' ( r' ist der Radius des halb vollen Glases, h' die Höhe)
Jetzt kommt mein Problem ich kann keine 2. Gleichung herleiten...Ich glaube nur dass es praktisch wäre r' zu ersetzen um dann an h' zu gelangen...Aber wie geht das jetzt genau? Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen!
3 Antworten
V = 1/3 • π • (3cm)² • 15cm = 45cm³ • π
V/2 = 1/3 • π • r² • h = 22,5cm³ • π
Ähnlichkeit: 3cm / 15cm = r / h >> r = h/5
(45cm³ • π)/2 =1/3 π • h²/25 • h
h³ = 45cm³ • 3 • 25 / 2 = 1687,5cm³
h = 11,905cm
r = 2,381cm
Probe:
1/3 • (2,381cm)² • 11,905cm • π = 22,5cm³ • π = V/2
Danke für deine Antwort! Habe jedoch zuvor eine andere Variante zum Lösen gewählt...ich bin aber froh,dass du den gleichen wert für h herausbekommen hast! ;)
Also du hast einen Kegel, der ja ein rotationssymmetrisches Objekt ist. Es genügt also, das zweidimensionale Analogon, das gleichschenklige Dreieck zu betrachten. Du weißt, dass 141.4=1/3Gh und dass via Pythagoras du die Höhe h ausknobeln kannst. Jetzt brauchst du eine neue Höhe h'. Und hier wendest du jetzt die Eigenschaft an, dass es sich bei dem gleichschenkligen gesuchten Dreieck mit der Höhe h' um ein zum vorigen Dreieck ähnlichen Dreieck handelt. Damit erhälst du einen gemeinsamen Skalierungsfaktor, mit dem du dann die Höhe herausbekommst.
Ich glaub das ist alles zu kompliziert für mich.Was hat das mit den 141,4 auf sich?Das hab ich noch nie gehört...Bin erst 9. klasse und mir wurde gesagt dass ich das mit zwei Gleichungen lösen soll (die eine gleichung steht ja schon oben aber mir fehlt halt die zweite...)..naja trotzdem danke
Der Skalierungsfaktor des dreidimensionalen Kegels ist ein anderer als der des zweidimensionalen Dreiecks.
nein, der Faktor geht in das Volumen kubisch und in die Fläche quadratisch ein. Das sieht dann grob gesprochen so aus:
V=1/3Gh=1/3*G'*a^2*h*a=a^3*1/3G'h'
Und das geht mit der Dreiecksfläche genauso, nur, dass man da dann den Faktor a^2 nur herausziehen kann.
Mein Fehler. Ich meinte den Skalierungsfaktor des Volumens.
Tipp: An Zahlenwerten brauchst du für diese Rechnung nur die Höhe des Sektglases (und natürlich den gewünschten Faktor, 1/2).
Volumen eines Kegels:
V = 1/3 G h = 1/3 π r² h
Mit dem Öffnungswinkel des Halbkegels, nennen wir ihn α, gilt:
r = h tan(α)
Damit
V = 1/3 π h^3 tan(α)^2
Die ursprüngliche Höhe h1 für das ursprüngliche Volumen V1 ist gegeben, die Höhe h2 für das halbe Volumen V2 gesucht. Damit lauten die Formeln für diese beiden Kegel:
V1 = 1/3 π h1^3 tan(α)^2
V2 = 1/3 π h2^3 tan(α)^2
Nach Aufgabenstellung soll V2 = 1/2 V1 sein.
Damit kannst du h2 durch h1 ausdrücken, wobei sich fast alle Größen herauskürzen.
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Einfachere Alternative, die aber Verständnis der zugrundeliegenden Mechanismen voraussetzt: Der Kegel ist dreidimensional. Damit ändert sich bei Ähnlichkeitsabbildungen das Volumen proportional zur dritten Potenz jeder der linearen Abmessungen. Damit kann man das Verhältnis der beiden Höhen sofort nennen.
Danke für deine Antwort, habe jedoch die Aufgabe schon gelöst :)
Ich bin doof..Die 141,4 hab ich ja ausgerechnet...