Wie groß ist der Winkel von zwei Raumdiagonalen in einem Würfel mit der Kantenlänge 5cm?

Rein logisch wären es 90 Grad, aber meine Berechnungen widersprechen dem - vllt hab ich auch einen Denkfehler

Answer 1

[mihisu]

Rein logisch wären es 90 Grad

Nein. Das würde man evtl. zunächst vermuten, ist aber falsch. „Rein logisch“ ist es nicht. Logisch wäre es, nachzurechnen (oder ein Modell zu bauen und nachzumessen), wie groß der Winkel tatsächlich ist, anstatt einfach der Vermutung zu trauen. [Und das hast du ja anscheinend auch gemacht.]

Als Schnittwinkel erhält man tatsächlich ungefähr 70,53° bzw. ungefähr 109,47° (nicht 90°).

====== Möglicher Rechenweg ======

Man kann beispielsweise den Würfel mit den Eckpunkten...

A(0|0|0), B(1|0|0), C(1|1|0), D(0|1|0),
E(0|0|1), F(1|0|1), G(1|1|1), H(0|1|1)

... betrachten.

Betrachtet man da die Raumdiagonalen [AG] und [BH] erhält man für die entsprechenden Vektoren...

$\overrightarrow{AG}=\begin{pmatrix}1-0\\1-0\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BH}=\begin{pmatrix}0-1\\1-0\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$

Für den entsprechenden Schnittwinkel erhält man...

$\arccos\left(\frac{\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{BH}}{\lvert\overrightarrow{AG}\rvert\cdot \lvert\overrightarrow{BH}\rvert}\right)=\arccos\left(\frac{1\cdot \left(-1\right)+1\cdot 1+1\cdot 1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\cdot \sqrt{\left(-1\right)^2+1^2+1^2}}\right)$

$=\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\approx 70\text{,}53\degree$

Und auch den entsprechende Nebenwinkel als zweiten Schnittwinkel...

$180\degree-\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\approx 109\text{,}47\degree$

====== Alternativer Rechenweg ======

Bei einem Würfel mit Kantenlänge a erhält man für die Länge einer Flächendiagonalen, bspw. für die Länge der Strecke [BG], mit Satz des Pythagoras...

$\overline{BG}=\sqrt{\overline{BC}^2+\overline{CG}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}\cdot a$

In dem Rechteck ABGH erhält man dann...

$\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\frac{\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot a}{\frac{1}{2}\cdot a}=\sqrt{2}$

$\rightarrow\quad \frac{\varphi}{2}=\arctan\left(\sqrt{2}\right)$

$\rightarrow\quad \varphi=2\cdot \arctan\left(\sqrt{2}\right)\approx 109\text{,}47\degree$

Bzw. für den anderen Schnittwinkel dann...

$180\degree- \varphi\approx 180\degree -109\text{,}47\degree=70\text{,}53\degree$

Answer 2

[Wechselfreund]

Das Dreieck aus einer Kante, einer Raumdiagonalen und einer Flächendiagonalen ist zwar rechtwinklig, aber nicht gleichschenklig (Skizze machen)