Wie berechne ich die Seitenlängen und Winkel in diesem Dreieck?
Hallo, im Bild seht ihr einen Würfel mit der Kantenlänge 5cm. Wir sollen alle Winkel im roten Dreieck sowie die Seitenlängen berechnen. Ich hab leider überhaupt keine Idee. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte! :) Vielen Dank und liebe Grüße.
2 Antworten
Hallo,
zunächst legst Du fest, welche Ecke des Würfels die Koordinate (0|0|0) besitzt. Ich schlage die linke untere Ecke vor.
Dann legst Du die x1-, x2- und x3-Achse fest.
Mein Vorschlag:
Vom Nullpunkt geht die x1-Achse nach rechts ab, die x2-Achse nach hinten und die x3-Achse nach oben.
Nun kannst Du die Punkte, an denen das rote Dreieck den Würfel berührt, als Koordinaten darstellen.
Rechte vordere senkrechte Kante: Hier berührt das Dreieck den Würfel bei Punkt (5|0|3), denn Du gehst vom Nullpunkt aus 5 Einheiten in x1-Richtung, 0 Einheiten in x2-Richtung und 3 Einheiten in x3-Richtung.
Rechte obere Kante: Punkt (5|2|5) Die 2 ergibt sich aus 5-3, da der Würfel eine Kantenlänge von 5 Einheiten hat und es noch 3 Einheiten bis ganz nach hinten sind.
Linke Seitenfläche: Punkt (0|1|4), wenn ich das richtig erkennen kann. Die 4 ergibt sich aus 5-1.
Die Seiten des Dreiecks kannst Du nun als Vektoren darstellen, indem Du von jeweils zwei Endpunkten die Differenz bildest, wobei A-B bedeutet, daß die Spitze des Differenzvektors bei A liegt.
Die Länge der Seiten ist nun ihr Betrag, also die Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Koordinaten eines Vektors.
So hat z.B. der Vektor, der von der vorderen rechten Kante zur oberen rechten Kante geht, die Koordinaten (5/2/5)-(5/0/3)=(0/2/2) und damit die Länge (den Betrag) Wurzel (0²+2²+2²)=Wurzel (8).
Entsprechend kannst Du die beiden anderen Dreiecksseiten berechnen.
Winkel zwischen zwei Seiten berechnest Du, indem Du die beiden Vektoren berechnest, die von einem gemeinsamen Punkt ausgehen.
Dann gilt: cos(Phi)=(a·b)/(|a|*|b|), also das Skalarprodukt der beiden Vektoren geteilt durch das Produkt ihrer Beträge. Die Zahl, die Du dann heraushast, ist der Kosinus des kleineren Winkels zwischen beiden.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo, vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort! So werde ich das sicher hinbekommen. Schönes Wochenende und liebe Grüße.
Pythagoras, Skalarprodukt, eventuell Cosinussatz.