Wie errechne ich die Fallbeschleunigung in einem gewissen Abstand zum Erdmittelpunkt?
Auf Meeresniveau beträgt sie ja bekanntlich 9,81 m/s^2. Wie errechne ich sie für einen Abstand x zum Erdmittelpunkt?
7 Antworten
Die Formel dafür lautet:
g(Höhe) = g(NN) * (RadiusPlanet / AbstandSatellitZurErdmitte)^2
Also: g(Höhe) = g(NN) * (r1 / r2)^2
Nehmen wir als Beispiel einen Satelliten, der in 1000 km
Höhe kreist, also 7371 km entfernt zum Erdmittelpunkt => x sei 7371.000 m.
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Einsetzen:
g(7371000m) = 9,81 m/s^2 * (6371000 m / 7371000 m)^2 = 7,329 m/s^2
=> In 1000 km über der Erdoberfläche bzw. 7371 km über dem Erdmittelpunkt beträgt die Fallbeschleunigung für Objekte mit zu vernachlässigender Masse ~ 7,329 m/s^2.
Hoffe, ich konnte helfen :)
PS: Rechenfehler sind nicht auszuschließen! :D
Wie errechne ich sie für einen Abstand x zum Erdmittelpunkt?
Ich nenne es lieber r, das ist das übliche Formelzeichen, abgeleitet von „Radius“ oder besser „radialer Abstand“. Dies sollte man nicht verwechseln mit R, dem Erdradius.
Wie andere User schon geschrieben haben, folgt die Gravitationsfeldstärke oder Fallbeschleunigung |g› (es ist ein Vektor, eine Größe mit Richtung) dem Newton'schen Gravitationsvesetz
(1.1) |g› = GM/r²·(–|1.r›);
dabei ist G die Gravitationskonstante, M Erdmasse; |1.r› ist ein Einheitsvektor, der vom Mittelpunkt weg zeigt; das Minuszeichen kehrt die Richtung um. Einheitsvektoren haben die „Länge“ 1 (nicht etwa 1m, sondern einfach 1) und enthalten ausschließlich eine Richtungsinformation.
Da die Richtung klar ist, können wir uns auch mit der Betragsgleichung
(1.2) g = GM/r²
begnügen. Dass die Gravitationsfeldstärke zugleich eine Beschleunigung ist, ist eine Besonderheit der Gravitation, die dazu führt, dass sich Gravitation genauso verhält wie eine Trägheitskraft und im Vakuum alle Körper gleich schnell fallen.
Gleichung (1.1) ähnelt dem Coulomb-Gesetz. Eine kugelsymmetrische Ladung q erzeugt im Abstand r die elekrische Feldstärke
(2) |E› = (1/(4πε₀))·q/r²·(|1.r›),
wobei ε₀ die elektrische Feldkonstante ist, sich die Richtung (nach außen oder nach innen) nach dem Vorzeichen der Ladung richtet. Allerdings ist |E› im Unterschied zu |g› keine Beschleunigung.
Qullendichte und FlussGemeinsam ist beiden, dass die lokale Quellenstärke (respektive Quellendichte) die Dichte ist, in einem Fall die Massendichte, im anderen die Ladungsdichte.
Der sogenannte Fluss des Feldes durch eine geschlossene Fläche ist propotional zur gesamten Masse/Ladung im umschlossenen Volumen. Veranschaulicht man sich das Feld durch Feldlinien, entspricht dem Fluss die Gesamtzahl dieser Feldlinien.
In der Entfernung r vom Mittelpunkt einer kugelsymmetrischen Massen/Ladungsverteilung verteilt sich der Fluss auf einer Kugelfläche 4πr², daher die 1/r² - Beziehung, die freilich nur für r ≥ R gilt.
Hohlkugel und das InnereDas Innere einer gleichmäig geladenen Hohlkugel ist feldfrei, da die Feldstärken aus allen Richtungen einander aufheben.
Mit einer massiven Hohlkugel (bei Erdgröße allerdings unrealistisch) ist das Innere ebenfalls feldfrei, d.h., dort herrscht Schwerelosigkeit.
Geht man also ins Innere einer massiven Kugel, so kann man die Kugel in eine Hohlkugel „über“ sich und eine massive Kugel „unter“ sich einteilen. Erstere trägt zur Gravitationsfeldstärke nichts bei.
Für r < R ist daher
(3) M*(r) = (4/3)πρ̅[r]r³,
wobei ρ̅[r] die mittlere Dichte der massiven Kugel innerhalb des Radius r ist. Wäre ρ konstant, so wäre g im Inneren
(4) g(r, ρ=const.) = GM*(r)/r² = (4/3)πGρr,
insbesondere also proportional zu r. Würde man durch eine homogene Kugel einen Tunnel bauen und hereinspringen, so würde man dort eine harmonische Schwingung ausführen.
Durch die Dichtezunahme der Erde stimmt das nicht ganz, dass Maximum liegt eher an der Außengrenze des Erdkerns.
Hallo MisterUnknowing
Für Abstände x vom Erdmittelpunkt, die größer/gleich dem Erdradius r sind, haben Lazybear und Locuthos ja bereits die Formeln geliefert.
Wie sieht es aber aus für Werte x, die kleiner sind als r? Die paar "mickrigen" Kilometer, die man in Bergwerken bisher in die Tiefe eingedrungen ist, spielen dabei noch keine nennenswerte Rolle.
Ich weiß natürlich, dass es nicht geht, aber wenn man rein theoretisch einen "Brunnen" bis zum Erdmittelpunkt herstellen könnte, welche Anziehungskraft Richtung Erdmittelpunkt wäre dann für einen Körper in diesem "Brunnen" abhängig vom Abstand x<r vom Erdmittelpunkt wirksam?
Für diese Berechnung müsste man sich die Erde in lauter dünne parallele Scheiben senkrecht zur "Brunnen"-Achse aufgeteilt denken, zweckmäßigerweise mit jeweils gleicher Dicke. Dann müsste man anhand der vermuteten Dichteverteilung im Erdinneren die Teilmassen dieser Scheiben berechnen und sich jeweils in der Mitte der Scheibe, also auf der "Brunnen"-Achse konzentriert denken. Jede dieser Teilmassen übt nun eine Teilkraft auf den Körper aus, die sich aus der Teilmasse, der Körpermasse und dem Abstand zwischen Körper und Mittelpunkt der Scheibe nach dem Newton'schen Gravitationsgesetz berechnen lässt.
Wenn sich nun ein Körper im "Brunnen" befindet, so liegen einige dieser Scheiben oberhalb von ihm und der Rest unterhalb von ihm. Von den oberhalb liegenden Scheiben wird er nach oben gezogen, von den unterhalb liegenden Scheiben nach unten. Um die resultierende Gesamtkraft zu erhalten, müsste man nun über sämtliche Teilkräfte zwischen dem Körper und den Teilmassen der Scheiben integrieren. Je tiefer der Körper im "Brunnen" steckt, desto geringer wird diese Gesamtkraft sein. Im Erdmittelpunkt selbst wäre sie gleich Null, denn nun zieht die "obere" halbe Erde nach oben und die "untere" halbe Erde nach unten.
Wie gesagt, das sind reine Gedankenspielereien ohne realen Hintergrund.
Es grüßt HEWKLDOe.
…ohne realen Hintergrund.
Gesteinsmassen bzw. Magma unterliegen ganz real den Gravitationskräften im Erdinneren.
Die formel F=m*g, wenn du nach g umstellst hast du F/m =g und jetzt kannst du für F eine formel einsetzen, die den abstand mit berücksichtigt, also F=γ*M*m/r^2 dabei ist γ die gravitationskonstante und r der radius bzw abstand zum erdmittelpunkt, M ist die masse der erde und klein m ist eine probemasse! Wenn du nun beide zusammenhänge vereinst, kürzt sich klein m weg und du erhälst g=γ*M/r^2, jetzt kannst du die beschleunigung in abhängigkeit zum erdmittelpunkt bestimmen! Lg
Radius (Erde) + Aktueller Standpunkt (in abhängigkeit vom Meeresspiegel)
also dann bekommst du nen groben wert/ so als faustformel wenn dir der ganz grobe wert reichen soll. ansonsten
http://www.frustfrei-lernen.de/mechanik/gravitationskraft.html
Vielen Dank, die Formel ist goldwert :)
Dieses "NN" steht für Normalnull oder?