Wie ermittelt man die Stellen im Intervall [-1,3] an denen die Funktion f(x)=-1/3x^3+x^2-4/3 den kleinsten bzw. größten Wert annimmt?

Schreib die gleichung deutlicher auf

Du leitest ab.
f '(x) = 0 liefert dir die Extrema, und aus f '' von diesen x erfährst du, wo Hoch- oder Tiefpunkte sind. Das Letzte ist unnötig, falls sich alle Extrema außerhalb des Intervalls befinden.

Was man nicht weiß, ist das Verhalten der Funktion an den Rändern des Intervalls. Daher berechnest du an den Punkten -1 und 3 einfach den Wert f(x). Danach kannst du feststellen, ob einer oder beide dieser Punkte höher/tiefer liegen als die zuvor errechneten Extrema.

Mit der Ableitung kannst du es nicht herausbekommen, weil die Funktion am Rand normalerweise eine von 0 verschiedene Steigung hat.

Da die Aufgabe eine Hausaufgabe zu sein scheint, werde ich sie dir nicht Präzise vorrechnen. Allerdings weißt du vielleicht, dass die Ableitung einer Funktion immer die Steigung an einer Bestimmten Stelle angibt. Und weil du ja einen Hochpunkt bzw. einen Tiefpunkt suchst, musst du einen Punkt suchen, an dem die Steigung Null beträgt. (Das heißt du setzt die Ableitung gleich null.) Dafür müsstest du ein bis zwei x-werte errechnen können. (Aufpassen wenn du Wurzeln ziehst, bekommst du fast immer ein Negatives und ein Positives Ergebnis.) Als letztes setzt du diese x werte sowie die Randwerte in deine Funktion ein. Du müsstest jetzt den Höchsten und den niedrigsten wert dabei haben.