Wie bestimme ich die sigma algebra über die natürliche Zahlen?
Hallo. Ich hab überhaupt keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Die Aufgabe ist im Bild. Wie bestimme ich die o Algebra ? Danke
1 Antwort
Gut, dass du die Aufgabenstellung im Bild angegeben hast, denn in deiner Darstellung fehlt ja die Hauptsache!
Du sollst die kleinste σ-Algebra bezüglich der Grundmenge N der natürlichen Zahlen bestimmen, die alle "Anfangsstücke" {1,...,n} mit n€N enthält!
Damit solltest du zunächst mal die kleinste Algebra ("ohne σ-") bestimmen, die diese Anfangsstücke enthält, und dann nachsehen, welche Teilmengen entstehen, wenn du in der Algebra disjunkte Vereinigungen bildest. (Im Prinzip kann es dabei dann durchaus kompliziert weitergehen!)
Also erstmal die erzeugte Algebra: Die muss jedenfalls alle Komplemente
N \ {1,...,n} (n€N)
enthalten. Das sind alle "Endstücke"
{m, m+1,m+2,....} (1<m€N)
von N.
Außerdem muss die Algebra mit je zwei Mengen auch die Vereinigung enthalten. Wenn du zwei Anfangsstücke von N vereinigst, kommt das längere der beiden heraus. Wenn die zwei Endstücke von N vereinigst, kommt das heraus, das mit dem kleineren Element anfängt. Bei diesen Vereinigungen entstehen also keine Teilmengen, die du nicht schon hast. Bleibt die Vereinigung eines Anfangsstücks mit einem Endstück zu betrachten:
{1,...,n} U {m,m+1,....}
Das ist N ohne die endliche Teilmenge {k|n<k<m} .
D.h. man erhält alle Teilmengen, bei denen man aus N ein Intervall (endlich oder unendlich) natürlicher Zahlen weggelassen hat!
Aber die Algebra enthält zu denen nun auch wieder alle Komplemente, also alle Intervalle (endlich oder unendlich) natürlicher Zahlen.
So, und nun muss die Algebra wieder alle endlichen Vereinigungen von all diesen enthalten. Dabei entstehen alle Teilmengen der Art
mit
wobei das entweder eine endliche Menge ist oder eine, die ein Endstück von N enthält.
Und sieht die dann nicht endlich danach aus, das sie gegen Komplementbildung (in N) und gegen endliche Vereinigungen abgeschlossen ist?
Dann wäre das nämlich erst mal die von den Anfangsstücken erzeugte Algebra.
Um zu der erzeugten σ-Algebra zu kommen, musst du dich fragen, welche Teilmengen du bekommst, wenn du in dieser Algebra disjunkte Vereinigungen unendlich vieler solcher Mengen bildest.
(Ich glaube, da passiert nur etwas Neues, wenn du nur solche Teilmengen vereinigst, die kein Endstück von N enthalten ;-). ) Also, was sind das für Teilmengen von N, die nicht bereits in der Algebra liegen?